Решение №38687: Предположите, что точка /(Х\) построена. Рассмотрите параллельный перенос, переводящий точку \(Е\) в точку \(F\). Этот параллельный перенос задан, поэтому можно построить точку \(А_{1}\), в которую точка \(А\) переходит при этом переносе (рис. 280). Углы \(A_{1}FB\) и \(АХВ\) равны, поэтому угол \(A_{1}FB\) известен, Точка \(F\) - это точка пересечения отрезка \(CD\) и дуги окружности, иа которой отрезок \(А_{1}В\) виден под таким же углом, как и отрезок \(АВ\) из точек заданной окружности.

Ответ: NaN

Решение №38688: Предположите, что четырёхугольник \(ABCD\) построен. Рассмотрите параллельный перенос, при котором точка \(С\) переходит в точку \(В\). Пусть точка \(D\) при этом переносе переходит в точку \(D_{1}\) (рис. 281). В треугольнике \(ABD_{1}\) известны стороны \(AB = а\) и \(BD_{1} = b\) и угол между ними, поэтому его можно построить. Затем постройте лучи \(AD\) и \(ВС\) и проведите через точку \(D_{1}\) прямую, параллельную прямой

Ответ: NaN

Решение №38689: Предположите, что точки \(М\) и \(N\), в которых прямая \(l\) пересекает окружность \(S_{2}\) построены. Пусть \(O_{1}\) и \(O_{2}\) - центры окружностей \(S_{1}\) и \(S_{2}\); \(O`_{1}\) - образ точки \(О_{1}\), при параллельном переносе, переводящем точку \(М\) в точку \(N\), \(S`_{1}\), - образ окружности \(S_{1}\), при этом переносе. Проведём касательные \(АР\) и \(AQ\) к окружностям \(S`_{1}\) и \(S_{2}\) Тогда \(AQ^{2} = AM \cdot AN - AP^{2}\), а значит, \(O`_{1}A^{2} = AP^{2} + R^{2}\), где \(R\) - радиус окружности \(S`_{1}\). Отрезок \(АР\) можно построить, поэтому можно построить и огрезок длины \(АО`_{1}\). Точка \(О`_{1}\ это точка пересечения окружности радиуса \(АО`_{1}\), с центром \(А\) и окружности, диаметром которой служит отрезок \(О_{1}О_{2}\).

Ответ: NaN

Решение №38690: Предположите, что точки \(Р\) и \(Q\) лежат на окружностях \(S_{1}\) и \(S_{2}\) соответственно и точка \(А\) лежит на отрезке \(PQ\). Проведите из центров \(O_{1}\) и \(О_{2}\) окружностей \(S_{1}\) и \(S_{2}\) перпендикуляры \(O_{1}М\) и \(O_{2}N\) к прямой \(PQ\). Рассмотрите параллельный перенос, переводящий точку \(М\) в точку \(N\). Пусть \(С\) - образ точки \()_{1}\), при этом переносе. Треугольник \(O_{1}CO_{2}\) прямоугольный, и \(O_{1}C = MN = \frac{PQ}{2}\). Следовательно, чтобы построить прямую \(PQ\), для которой \(PQ = а\), нужно построить треугольник \(O_{1}СO_{2}\) с заданной гипотенузой \(O_{1}O_{2}\) и катетом \(O_{1}C = \frac{a}{2}\) а затем провести через точку \(А\) прямую, параллельную \(O_{1}С\).

Ответ: NaN

Решение №38691: Рассмотрите точку пересечения данной окружности и прямой, симметричной данной прямой относительно точки \(А\).

Ответ: NaN

Решение №38692: Рассмотрите точки пересечения угла \(АВС\) и угла, симметричного ему относительно точки \(D\).

Ответ: NaN

Решение №38693: Рассмотрите точку пересечения большей окружности и окружности, симметричной меньшей окружности относительно её произвольной точки.

Ответ: NaN

Решение №38694: Рассмотрите окружность, симметричную одной из данных окружностей относительно точки \(А\).

Ответ: NaN

Решение №38695: Пусть точка \(A_{1}\) симметрична точке \(А\) относительно прямой \(l\) (рис. 282). Тогда точка \(М\) пересечения прямых \(A_{1}В\) и \(l\) искомая. Действительно, если \(M_{1}\) - любая другая точка прямой \(l\), то \(AM_{1} + M_{1}B = A_{1}M_{1} + M_{1}B >A_{1}B = A_{1}M + MB = AM + МВ\).

Ответ: NaN

Решение №38696: Предположите, что треугольник \(АВС\) построен. Пусть точка \(С_{1}\) симметрична точке \(С\) относительно серединного перпендикуляра к стороне \(АВ\), точка \(В_{1}\) симметрична точке \(В\) относительно прямой \(СС_{1}\). Для определённости считайте, что \(AC < BC\) (рис. 288). Тогда \(\angle ACB_{1} = \angle ACC_{1} + \angle C_{1}CB = 180^\circ - \angle A + \angle C_{1}CB = 180^\circ - (\angle A - \angle B)\). Прямоугольный треугольник \(АВВ_{1}\) можно построить по катетам \(АВ\) и \(BB_{1} = 2h\). Точку \(С\) постройте как точку пересечения серединного перпендикуляра к отрезку \(ВВ_{1}\) и дуги окружности, из которой отрезок \(АВ_{1}\) виден под углом \(180^/circ - (\angle A - \angle В)\).

Ответ: NaN

Решение №38697: Предположите, что треугольник \ABC\) построен. Рассмотрите точки \(D_{1}\) и \(E_{1}\) симметричные точкам \(D\) и \(Е\) относительно прямых \(b\) и \(a\) (рис. 284). Искомые точки \(А\) и \(В\) - это точки пересечения прямой \(D_{1}Е_{1}\) с прямыми \(a\) и \(b\); точка \(С\) это точка пересечения прямых \(АЕ\) и \(BD\). Если точки \(D_{1}\) и \(E_{1}\) совпадают, то через точку \(D_{1}\) можно провести любую прямую, пересекающую лучи \(OA\) и \(ОВ\).

Ответ: NaN

Решение №38698: Рассмотрите точки \(М\) и \(N\), симметричные точке \(А\) относительно прямых \(b\) и \(c\) (рис. 285). Прямая \(MN\) пересекает прямые \(b\) и \(c\) в искомых точках \(B\) и \(C\).

Ответ: NaN

Решение №38699: Предположите, что треугольник \(АВС\) построен. Пусть \(АА_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) - его медианы, \(M\) точка их пересечения, \(М_{1}\) - точка, симметричная точке \(М\) относительно точки \(A_{1}\). Тогда \(ММ_{1} = \frac{2}{3}AA_{1}\), \(МС = \frac{2}{3}CC_{1}\) и \(M_{1}C = \frac{2}{3} BB_{1}\), поэтому треугольник \(ММ_{1}С\) можно построить. Точка \(А\) симметрична точке \(М_{1}\) относительно точки \(М\), а точка \(В\) симметрична точке \(С\) относительно середины отрезка \(ММ_{1}\).

Ответ: NaN

Решение №38700: Высоты \(h_{a}\), \(h_{b}\), \(h_{c}\) треугольника обратно пропорциональны сторонам \(а\), \(b\), \(c\). Поэтому стороны искомого треугольника с точностью до пропорциональности равны \(\frac{1}{\(h_{a}\)}\), \(\frac{1}{\(h_{b}\)}\), \(\frac{1}{\(h_{c}\)}\). Постройте сначала треугольник со сторонами \(d\), \(\frac{dh_{a}}{h_{b}}\), \(\frac{dh_{a}}{h_{c}}\) где \(d\) - произвольный отрезок, затем постройте одну из его высот и найдите коффициент подобия исходного треугольника построенному.

Ответ: NaN

Решение №38701: Сначала отметьте на стороне \(АВ\) произвольную точку \(К_{1}\) и постройте квадрат \(K_{1}L_{1}M_{1}N_{1}\) так, чтобы вершины \(L_{1}\) и \(M_{1}\), лежали на стороне \(ВС\), а затем постройте требуемый квадрат с помощью гомотетии с центром \(В\).

Ответ: NaN

Решение №38702: Сначала постройте произвольную окружность, касающуюся сторон угла, а затем постройте требуемую окружность с помощью гомотетии с центром \(В\). Таких окружностей две.

Ответ: NaN

Решение №38703: Постройте произвольную окружность, касающуюся одной стороны треугольника, затем постройте равную ей окружность, касающуюся той же стороны и построенной окружности. После зтого опишите вокруг этих окружностей иреугольник, подобный данному. Требуемые окружности можно построить теперь с помощью гомотетии, переводящей один треугольник в другой.

Ответ: NaN

Решение №38704: Сначала постройте квадрат, одной из сторов которого является данная хорда. Искомый квадрат получается из этого квадрата при гомотетии с центром в середине хорды.

Ответ: NaN

Решение №38705: Сначала постройте квадрат, описанный около окружности, две стороны которо-то параллельны данной хорде. . Искомый квадрат получается из этого квадрата при гомотетиях с центрами в серединах этих двух сторон.

Ответ: NaN

Решение №38706: Проведите два параллельных диаметра данных окружностей и соедините (двумя способами) их концы.

Ответ: NaN

Решение №38707: Первый способ. Прямая \(y = y_{0}\) пересекает данную прямую в точке с координатами \((x_{1}; y_{0})\), где \(ах_{1} + by_{0} + с = 0\). Поэтому \(х_{0} - x_{1} = \frac{ах_{0} + by_{0} + c}{a}\). Искомое расстояние равно высоте, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(\frac{ax_{0} + by_{0} + c}{a}|\) и \(\frac{ax_{0} + by_{0} + c}{b}|\). Для треугольника с катетами \(u\) и \(v\) эта высота равна \(\frac{uv}{\sqrt{u^2+v^2}}\). Второй способ. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку \(с\) координатами (x_{0} : y_{0}) перпендикулярно данной прямой, и найдите координаты точки пересечения этой прямой и данной прямой.

Ответ: Искомое расстояние равно высоте, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(\fraq{a$x_{0}$ + b$y_{0}$ + c}{a}|\) и \(\fraq{a$x_{0}$ + b$y_{0}$ + c}{b}|\). Для треугольника с катетами \(u\) и \(v\) эта высота равна \(\fraq{uv}{\sqrt{$u^2$+$v^2$}}\).

Решение №38708: Введите прямоугольную систему координат, начало которой - одна из вершин прямоугольника, а оси направлены по его сторонам.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38709: Прямая, проходящая через точки \((0; 0)\) и \((х_{1} ; y_{1})\), задаётся уравнением \(y_{1}х - х_{1}у = 0\). Поэтому согласно задаче 27.1 расстояние от точки \((x_{2} ; y_{2})\) до этой прямой равно \(\frac{|y_{1}x_{2} - x_{1}y_{2}|}{\sqrt{(x_{1})^2 + (y_{1})^2}}\). Это расстояние равно высоте рассматриваемого треугольника, проведённой к стороне длиной \(\sqrt{(x_{1})^2 + (y_{1})^2}}\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38710: Введите прямоугольную систему координат так, чтобы точки \(А\) и \(В\) имели координаты \((-а; 0)\) и \((а; 0)\) соответственно. Координаты \((х; у)\) точки \(М\), для которой \(AM^2 = \kappa^2BM^2\), удовлетворяют уравнению \((x + a)^2 + y^2 = \kappa^2((x - a)^2 + y^2), т. e. \( (x + \frac{1 + \kappa^2}{1 - \kappa^2}a)^2 = (\frac{2\kappa a}{1 - \kappa^2})^2\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38711: Уравнение, которому удовлетворяют координаты \((х; у)\) точки X, имеет вид \(\kappa(х^2 + y^2) + px + qy + r = 0\), где \(\kappa = \kappa_{1} + ... + \kappa_{n}\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38712: Уравнение, которому удовлетворяют координаты \((х; у)\) точки X, имеет вид \(\kappa(х^2 + y^2) + px + qy + r = 0\), где \(\kappa = \kappa_{1} + ... + \kappa_{n}\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38713: Пусть \((а_{1}; b_{1})\), \((а_{2}; b_{2})\) и \((а_{3}; b_{3})\) - координаты вершин треугольника. Координаты центра описанной около него окружности задаются системой уравнений \begin{equation*} \begin{cases} (x - a_{1})^{2}v+ (y - b_{1})^{2} = (x - a_{2})^{2} + (y - b_{2})^{2} (x - a_{1})^{2} + (y - b_{1})^{2} = (x - a_{3})^{2} + (y - b_{2})^{2} \end{cases} \end{equation*} После сокращений получаются линейные уравнения, поэтому решение рассматриваемой системы уравнений рационально.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38714: Отметьте на отрезках \(АВ\) и \(CD\) точки \(К\) и \(L\), делящие их в указанных отношениях. Докажите, что точка пересечения прямых \(АК\) и \(CL\) лежит на окружности \(S\). Для этого введите систему координат с началом в центре \(О\) окружности \(S\) и осями \(Ох\) и \(Оу\), направленными по лучам \(ОВ\) и \(OD\). Радиус окружности \(S\) можно считать равным 1. Прямые \(АК\) и \(CL\) задаются уравнениями \(у = \frac{x + 1}{3}\) и \(у = 2х - 1\). Поэтому их общая точка имеет координаты \(х_{0} = \frac{4}{5}\) и \(y_{0} = \frac{3}{5}\). Ясно, что \((x_{0})^2 + (y_{0})^2 = 1\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38715: Пусть \(r\) и \(R\) - радиусы вписанной и описанной окружностей, \(d\) - расстояние от центра описанной окружности до образа центра вписанной окружности при рассматриваемой гомотетии. Убедитесь, что \(|R - 2r| = d\). Пусть \((0; 0)\), \((2а; 0)\) и \((0; 2b)\) - координаты вершин треугольника. Тогда \((а; b)\) - координаты центра описанной окружности, \((r; r)\) - координаты центра вписанной окружности, причём \(r = a+ b - R\) (задача 21.4). Следовательно, \(d^2 = (2r - a)^2 + (2r-b)^2 = a^2 + b^2 - 4r(a + b - r) + 4r^2 = (R - 2r)^2\), так как \(a^2 + b^2 = R^2\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38716: Отрезки касательных равны \(АК\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38717: Квадраты отрезков касательных равны \(АМ \cdot AN\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38718: Пусть \(R\) и \(r\) - радиусы окружностей. Рассмотрите систему координат, в которой центры окружностей имеют координаты \((-а; 0)\) и \((а; 0)\). Степени точки с координатами \((x: y)\) относительно данных окружностей равны \((x + a)^2 + y^2 - R^2\) и \((x - a)^2 + y^2 - r^2\) соответственно. Приравнивая эти выражения, получаем \(x = \frac{R^2 - r^2}{4a}\). Это уравнение задаёт прямую, перпендикулярную отрезку, соединяющему центры окружностей.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38719: Согласно задаче 27.12 искомое множество - прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему центры окружностей. Кроме того, эта прямая содержит точку \(К\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38720: Согласно задаче 27.12 искомое множество - прямая. Эта прямая содержит точки \(М\) и \(N\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38721: Середина отрезка общей касательной лежит на радикальной оси.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38722: Центры окружностей не лежат на одной прямой, поэтому радикальная ось первой и второй окружностей пересекается с радикальной осью второй и третьей окружностей. Степени точки пересечения относительно всех трёх окружностей равны, поэтому она лежит на радикальной оси первой и третьей окружностей.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38723: Прямые, содержащие общие хорды окружностей, являются радикальными осями этих окружностей. Эти радикальные оси пересекаются в одной точке, если центры окружностей не лежат на одной прямой. В противном случае они перпендикулярны этой прямой.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38724: Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38725: Пусть \(\vec{а} = \vec{АВ}\), \(\vec{b} = \vec{BC}\), \(\vec{c} = \vec{CD}\) и \(\vec{d} = \vec{DA}\). Toгда \(d^2 = (\vec{а} + \vec{b} + \vec{c})^2 = a^2 + b^2 + c^2 + \sqrt{2} (\vec{а}\vec{b} + \vec{а}\vec{c} + \vec{b}\vec{c})\) и \(\vec{AC}\vec{BD} = (\vec{а} + \vec{b})(\vec{b} + \vec{c}) = b^2 + \vec{а}\vec{b} + \vec{а}\vec{c} + \vec{b}\vec{c}\). Поэтому диагонали \(АС\) и \(BD\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(а^2 + с^2 = b^2 + d^2\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38726: Представьте каждый выбранный вектор \(\vec{AB}\) в виде \(\vec{AB} = \vec{AO} - \vec{OB}\), где \(О\) - некоторая фиксированная точка.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38727: Вычислите в координатах скалярное произведение векторов \(\vec{KM}\) и \(\vec{NL}\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38728: Вектор \(\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}\) перпендикулярен прямой \(АВ\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38729: Положите \(\vec{a} = \vec{AB}\), \(\vec{b} =\vec{BC}\) и \(\vec{c} = \vec{CD}\). Тогда \(AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 - AC^2 - BD^2 = (\vec{a} + \vec{c})^2\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38730: Пусть точки О_{1} и O_{2} - центры первых и вторых часов, точки M_{1} и M_{2} - концы часовых стрелок первых и вторых часов в какой-то момент времени (эти точки равномерно движутся по окружностям). Тогда \(\vec{M_{1}M_{2}} = \vec{O_{1}O_{2}} + (\vec{M_{1}O_{1}} + \vec{O_{2}M_{2}}). Вектор \(\vec{M_{1}O_{1}} + \vec{O_{2}M_{2}}\) имеет постоянную длину и равномерно вращается.

Ответ: \(\vec{$M_{1}$$M_{2}$} = \vec{$O_{1}$$O_{2}$} + (\vec{$M_{1}$$O_{1}$} + \vec{$O_{2}$$M_{2}$}). Вектор \(\vec{$M_{1}$$O_{1}$} + \vec{$O_{2}$$M_{2}$}\) имеет постоянную длину и равномерно вращается.

Решение №38731: Положите \(\vec{OA} = OA\vec{a}\), \(\vec{OB} = OB\vec{b}\) и \(\vec{OC} = OC\vec{c}\); векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) имеют единичную длину. Левую часть искомого равенства можно записать в виде \(\frac{1}{2}OA \cdot OB \cdot OC (\sin{BOC} \times \vec{a} + \sin{AOC} \cdot \vec{b} + \sin{AOB} \cdot \vec{c})\). Проекции векторов \(\sin{AOC} \cdot \vec{b}\) и \(\sin{AOB} \cdot \vec{c}\) на прямую, перпендикулярную вектору \(\vec{a}\), равны по длине и противоположно направлены.

Ответ: Утверждение доказано.