Решение №38642: При повороте на \(60^\circ\) с центром \(А\), переводящем вершину \(В\) в вершину \(С\), точка \(М\) переходит в некоторую точку \(М_{1}\) , а точка \(С\) - в точку \(D\). Равенство \(МА^{2} = MB^{2} + MO^{2}\) эквивалентно равенству \(M_{1}M^{2} = M_{1}C^{2} + MC^{2}\) T. e. тому, что \(MCM_{1} = 90^\circ\). Поэтому \(\angle MCB + \angle MBC = \angle MCB + \angle M_{1}CD = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ\) , т. е. \(\angle BMC = 150^\circ\). Искомое множество лежащая внутри треугольника дуга окружности, из которой отрезок \(ВС\) виден под углом \(150^\circ\)

Ответ: NaN

Решение №38643: Рассмотрите поворот на \(60^\circ\) с центром \(А\), переводящий точки \(С\) и \(С_{1}/) в точки \(В_{1}\) и \(В\). При этом повороте точки \(А_{1}\) и \(В\) переходят в некоторые точки \(А_{2}\) и \(В_{2}\) (рис. 273). Отрезок \(С_{1}А_{1}\) переходит в отрезок \(ВА_{2}\). Отрезки \(ВА_{1}\) и \(В_{1}A_{2}\), равны и параллельны, поэтом середины отрезков \(ВА_{2}\) и \(A_{1}B_{1}\) совпадают

Ответ: NaN

Решение №38644: Пусть \(O_{1}\) и \(O_{2}\) - центры симметрии, \(А\) точка, не лежащая на прямой \(O_{1}O_{2}\). Далее, при симметрии относительно точки \(O_{1}\), точка \(А\) переходит в точку \(A_{1}\) при симметрии относительно точки \(O_{2}\) точка \(A_{1}\) переходит в точку \(A_{2}\), а при симметрии относительно точки \(O_{2}\) точка \(O_{1}\) переходит в точку О (рис. 274). Тогда четырёхугольник \(AА_{2}OO_{2}\) - параллелограмм.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38645: Для двух разных порядков получаются параллельные переносы в противоположных направлениях

Ответ: NaN

Решение №38646: Пусть \(l_{1}\), и \(l_{2}\) - параллельные оси симметрии, точка \(О_{1}\) равноудалена от прямых \(l_{1}\) и \(l_{2}\), точки \(О\) и \(О_{1}\) симметричны точке \(О_{1}\) относительно прямых \(l_{1}\) и \(l_{2}\) точка \(Х\) не лежит на прямой \(O_{1}O_{2}\) точка \(X_{1}\), симметрична точке \(Х\) относительно прямой \(l_{1}\) точка \(X_{2}\) симметрична точке \)X_{1}\) относительно прямой \(l_{1}\) (рис. 275). Тогда четырёхугольник \(XX_{2}O_{2}O\) - параллелограмм.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38647: Для двух разных порядков получаются параллельные переносы в противоположных направлениях.

Ответ: NaN

Решение №38648: Пусть оси симметрии \(l_{1}\) и \(l_{2}\) перпендикулярны, \(О\) - точка их пересечения. Далее, точка \(А\) не лежит на прямых \(l_{1}\) И \(l_{2}\), точка \(A_{2}\) симметрична точке \(А_{1}\) относительно прямой \(l_{1}\) точка \(A_{2}\) симметрична точке \(А_{1}\) относительно прямой \(l_{2}\) (рис. 276). Тогда угол \(АА_{1}A_{2}\) прямой и точка \(O\)- чередин гипотенузы прямоугольного треугольника \(AA_{1}A_{2}\)

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38649: Воспользуйтесь задачей 24.41.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38650: Последовательное выполнение трёх симметрий: сначала относительно прямой \(m\), затем относительно прямой \(l\) и потом снова относительно прямой \(m\) - является симметрией относительно прямой \(n\) (рис. 277).

Ответ: NaN

Решение №38651: Если оси симметрии \(l\) и \(m\) не перпендикулярны, то прямая \(n\), симметричная относительно \(m\), является третьей осыо симметрии.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38652: Если фигура имеет ровно две оси симметрии, то эти оси взаимно перпендикулярны.

Ответ: NaN

Решение №38653: Пусть точка \(X_{1}\) симметрична точке \(Х\) относительно прямой \(ОА\), точка \(Х_{2}\), симметрична точке \(Х_{1}\), относительно прямой \(ОВ\) и точка \(Х_{1}\) лежит внутри угла \(АОВ\). Если угол \(АОВ\) острый, то \(\angle XOX_{2} = 2 \angle AOB\) (рис.278, a), если угол \(AOB\) тупой, то \(\angle XOX_{2} = 360^\circ - 2 \angle AOB\) (рис. 278, б).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38654: Для двух разных порядков получаются повороты в прогивоположных направлениях. Повороты на \(180^/circ\) в противоположных направлениях совпадают.

Ответ: NaN

Решение №38655: Середины сторон квадрата являются вершинами другого квадрата. При гомотетии с коэффициентом 2 и центром в данной точке середины сторон квадрата переходят в точки, симметричные данной точке относительно них.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38656: Точка \(С\) переходит в точку пересечения медиан треугольника \(АВС\) при гомотетии с коэффициентом \(\frac{1}{3}\) и центром в середине стороны \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №38657: При гомотетии с центром в точке пересечения диагоналей четырёхугольника и коэффициентом \(\frac{3}{2}\) точки пересечения медиан указанных треугольников переходят в середины сторон четырёхугольника. Середины сторон четырёхугольника являются вершинами прямоугольника (задача 13.8).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38658: Пусть продолжения боковых сторон \(АВ\) и \(CD\) трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(Р\), а её диагонали - в точке \(О\). При гомотетии с центром \(Р\), переводящей отрезок \(ВС\) в отрезок \(AD\), точка \(М\) переходит в точку \(N\), поэтому точка \(Р\) лежит на прямой \(MN\). При гомотетии с центром \(О\), переводящей отрезок \(ВС\) в отрезок \(DA\), точка \(М\) переходит в точку \(N\), поэтому точка \(O\) тоже лежит на прямой \(MN\). Замечание. Другое решение приведено в указании к задаче 17.13.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38659: При гомотетии с коэффициентом \(-\frac{1}{2}\) и центром в точке пересечения медиан треугольника верщина треугольника переходит в середину противоположной стороны. Поэтому прямая, содержащая биссектрису треугольника, переходит в прямую, проходящую через середину стороны параллельно биссектрисе противолежащего угла.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38660: При гомотетии с центром \(М\) и коэффициентом \(-2\) прямые \(РА_{1}\), \(РB_{1}\) и \(РC_{1}\) переходят в прямые \(l_a\), \(l_b\) и \(l_c\), поэтому точка \(Q\) является образом точки \(Р\) при этой гомотетии.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38661: Одна окружность переходит в другую при гомотетии с центром \(К\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38662: Одна окружность переходит в другую при гомотетии с центром \(К\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38663: При гомотетии, переводящей первую окружность во вторую, вторая окружность переходит в третью. Квадрат коэффициента этой гомотетии равен \(\frac{18}{2} = 9\).

Ответ: NaN

Решение №38664: При гомотетии с коэффициентом \(\frac{1}{3}\) и центром в середине стороны \(АВ\) точка \(С\) переходит в точку пересечения медиан треугольника \(АВС\).

Ответ: NaN

Решение №38665: Пусть прямая \(АВ\) пересекает окружность радиуса \(r\) в точке \(С\). Квадрат отрезка касательной равен \(BA \cdot BC\), \(BC = BA + AC\) и \(AC = \frac{r}{R}a\).

Ответ: NaN

Решение №38666: Пусть прямая \(АВ\) пересекает окружность радиуса \(r\) в точке \(С\). Квадрат отрезка касательной равен \(BA \cdot BC\), \(BC = BA - AC\) и \(AC = \frac{r}{R}a\).

Ответ: NaN

Решение №38667: Из свойств биссектрисы и теоремы синусов получите \(AK : KD = AP : DP = \sin{D} : \sin{A}\) и \(AL: LB = AQ : BQ = \sin{B} : \sin{A}\). Сумма углов \(В\) и \(D\) равна \(180^\circ\), поэтому \(\sin{B} = \sin{D}\). Следовательно, \(AK : KD = AL : LB\), поэтому рассматриваемые окружности гомотетичны.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38668: Проведите прямую, соединяющую центры окружностей, и рассмотрите диаметры, перпендикулярные этой прямой. Они являются основаниями трапеции. Центр одной гомотетии - точка пересечения диагоналей этой трапеции, центр другой гомотетии - точка пересечения продолжений боковых сторон.

Ответ: NaN

Решение №38669: При гомотетии с коэффициентом \(-2\) и центром в точке \(М\) точки \(А_{1}\), \(B_{1}\) и \(C_{1}\) переходят в вершины треугольника. Поэтому при этой гомотетии ортоцентр треугольника \(А_{1}B_{1}C_{1}\) переходит в ортоцентр \(Н\) треугольника \(АВС\). Но ортоцентр треугольника \(А_{1}B_{1}C_{1}\) - это центр \(O\) описанной около треугольника \(АВС\) окружности.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38670: Треугольник \(ВСВ_{2}\) прямоугольный, поэтому его медиана \(В_{2}А_{1}\) равна половине гипотенузы \(ВС\). Следовательно, диагонали или боковые стороны трапеции с основаниями \(A_{1}C_{1}\) и \(В_{1}В_{2}\) равны. Поэтому эта трапеция равнобедренная и около неё можно описать окружность. Следовательно, точка \(В_{2}\) лежит на окружности, описанной около треугольника \(А_{1}В_{1}С_{1}\). Аналогично точки \(А_{2}\) и \(С_{2}\), лежат на этой окружности.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38671: Окружность \(S\) проходит через точки \(А_{1}\) и \(А_{2}\), поэтому её центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(А_{1}А_{2}\). Три таких серединных перпендикуляра пересекаются в середине отрезка \(ОН\). Окружность \(S\) переходит в окружность, описанную около треугольника \(АВС\), при гомотетии с коэффициентом \(-2\) и центром \(М\), поэтому радиус окружности \(S\) равен половине радиуса описанной окружности.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38672: Для каждого из этих треугольников окружность Эйлера проходит через середины отрезков \(AB\), \(ВС\), \(СА\), \(АН\), \(ВН\) и \(СН\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38673: Для остроугольного треугольника \(АВС\) точки \(А_{2}\) и \(А_{3}\) лежат по разные стороны от прямой \(B_{3}C_{3}\) и \(\angle B_{3}A_{2}C_{3} = \angle B_{3}HC_{3} = 180^\circ - \angle B_{3}A_{3}C_{3}\). Треугольники \(АВС\), \(НВС\), \(АНС\) и \(АВН\) имеют общую окружность Эйлера, и один из этих треугольников остроугольный.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38674: Пусть искомый отрезок равен \(х\). Основания подобных трапеций пропорциональны, поэтому \(а : х = х : b\).

Ответ: \(x = $\sqrt{ab}$\)

Решение №38675: Выполнив предварительно гомотетию, можно считать, что стороны трапеций соответственно равны. Отложим на основаниях \(AD\) и \(A_{1}D_{1}\) отрезки \(АЕ\) и \(A_{1}E_{1}\), равные \(ВС\). Треугольники \(CDE\) и \(C_{1}D_{1}E_{1}\) равны по трём сторонам.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38676: Преобразованием подобия можно совместить сторону одного данного четырёхугольника со стороной другого так, чтобы углы при этих сторонах тоже совместились. Рассмотрите четырёхугольники \(ABCD\) и \(ABC_{1}D_{1}\) с общей стороной \(АВ\) и общими углами с вершинами \(А\) и \(В\); диагонали четырёхугольников пересекаются в точках \(О\) и \(О_{1}\) (рис. 279). Стороны \(CD\) и \(C_{1}D_{1}\) параллельны или совпадают. Предположите, что они не совпадают и, для определённости, \(AC_{1} > AC\). Тогда \(\angle ABC_{1} > \angle ABC и \(\angle BAD_{1} > \angle BAD\), поэтому \(\angle AO_{1}B < \angle AOB\), что противоречит условию.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38677: Пусть \(R\) - радиус данной окружности, \(О\) - её центр. Центр искомой окружности лежит на окружности радиуса \(|R \pm r|\) с центром \(О\) и на примой, параллельной данной прямой и удалённой от неё на расстояние \(р\) (таких прямых две).

Ответ: NaN

Решение №38678: Центр данной окружности лежит на серединиом дерпеждикуляре к отрезку \(АВ\) и на прямой, проходящей через точку \(В\) перпендикулярно к прямой \(l\).

Ответ: NaN

Решение №38679: Середины всех хорд данной окружности, имеющих заданную длину, лежат на окружности с тем же центром, что и данная окружность. К этой окружности нужно провести касательную, параллельную данной прямой.

Ответ: NaN

Решение №38680: Середины хорд данной окружности, имещих заданную длину. лежат на окружности с тем же центром. К этой окружности нужно провести касательную из данной точки.

Ответ: NaN

Решение №38681: Пусть \(O\) центр данной окружности, \(АВ\) хорда, проходящая через точку \(Р\), \(М\)- середина хорды \(АВ\). Тогда \(|AP - BPI= 2PM\). Угол \(РМО\) прямой, поэтому точка \(М\) лежит на окружности \(S\) с диаметром \(ОР\). Постройте окружность \(S\) и проведите её хорду \(РМ\) так, что \(PM = \frac{a}{2}\) (таких хорд две). Искомая хорда лежит на прямой \(РМ\).

Ответ: NaN

Решение №38682: Множество точек, из которых данная окружность радиуса \(R\) c центром \(О\) видна под углом \(2\alpha\), это окружность с центром \(О\), радиус которой равен гипотенузе прямоугольного треугольника, в котором против угла \(\alpha\) лежит катет длины \(R\).

Ответ: NaN

Решение №38683: Построим середину \(А_{1}\) данного отрезка \(ВС\). Точка \(C_{1}/) это точка пересечения окружности радиуса \(m_{c}\), с центром \(С\) и дуги окружности, из которой отрезок \(ВА_{1}\) виден под углом, равным данному углу \(А\).

Ответ: NaN

Решение №38684: Постройте сначала отрезок \(СС_{1} = m_{c}\)и центр \(О\) окружности, из которой отрезок \(СС_[1}\) виден под данным углом \(А\) (таких точек две, мы выбираем любую из них). Затем постройте точку \(М\), в которой пересекаются медианы треугольника \(АВС\) (эта точка делит отрезок СС, в отношении 2 : 1). Точка \(В_{1}\) это точка пересечения окружности, построенной на отрезке \(СО\) как на диаметре, и окружности радиуса с центром \(М\)

Ответ: NaN

Решение №38685: Постройте на прямой \(l\) отрезок длины \(а\) и рассмотрите образы окружности \(S_{1}\), при двух параллельных переносах, переводящих концы отрезка друг в друга. Искомая прямая проходит через точку пересечения окружности \(S_{2}\) и образа окружности \(S_{1}\).

Ответ: NaN

Решение №38686: Пусть \(O_{1}\) и \(O_{2}\) - проекции центров окружностей \(S_{1}\) и \(S_{2}\) на прямую \(l\). Рассмотрите образ окружности \(S_{1}\) при параллельном переносе, переводящем точку \(O_{1}\) в точку \(О_{2}\). Искомая прямая проходит через точку пересечения этого образа и окружности \(S_{2}\).

Ответ: NaN