Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38597: Если выпуклый многоугольник разрезан на параллелограммы, то для каждой его стороны найдётся ещё ровно одна параллельная ей сторона.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38598: На рисунке 260 один из требуемых пятиугольников изображён чёрной линией, другой синей.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38599: Пусть радиус описанной окружности равен \(R\). Выразив площадь треугольника \(АВЕ\) двумя способами, получим \(\frac{AE /cdot BE -\cdot AB}{4R} = \frac{a \cdot AB}{2}\). T. e. \(a = \frac{AE \cdot BE}{2R}\). Запишите аналогичные выражения для расстояний до прямых \(BC\), \(CD\) и \(AD\).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38600: Сумма углов полученных треугольников равна сумме углов многоугольника.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38601: См. рис. 261.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38602: а) См. рис. 262. б) Предположим, что прямая не проходит через вершины многоугольника и пересекает все его стороны. Тогда стороны многоугольника можно разбить на пары, выходящие из вершин, лежащих по одну сторону от прямой.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38603: См. рис. 268.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38604: См. рис. 264.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38605: Проведите через вершины \(A\), \(C\) и \(E\) прямые, параллельные сторонам \(ВС\), \(DE\) и \(FА\). Эти прямые образуют равносторонний треугольник, стороны которого равны \(|AB- DE|\), \(|BC - FE|\) и \(|CD - AF|\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38606: Каждый угол многоугольника в сумме с внешним углом деёт \(180^\circ\), Поатому сумма всех углов и всех внешних углов выпуклого n-угольника равна \(n \cdot 180^\circ\).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38607: Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна \(360^\circ\). Вклад каждого острого угла многоугольника в эту сумму больше \(90\circ\)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38608: Пусть перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через точки \(А_{1}\), \(В_{1}\) и \(C_{1}\) пересекаются в точке \(М\). Обозначьте центр окружности буквой \(О\). Перпендикуляры к стороне \(ВС\), проведённые через точки \(A_{1}\) и \(A_{2}\) симметричны относительно точки \(О\), Поэтому перпецдикуляры к сторонам, проведённые через точки \(A_{2}\) \(A_{2}\) и \(C_{2}\), пересекаются в точке, симметричной точке \(М\) относительно точки \(О\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38609: Пусть \(P\), \(Q\), \(R\) и \(S\) - середины сторон \(АВ\), \(ВС\), \(CD\) и \(DA\) четырёхугольника \(ABCD\), \(М\) - точка пересечения отрезков \(PR\) и \(QS\). Четырёхугольник \(PQRS\) - параллелограмм (задача 13.8), потому точка \(М\) общая середина отрезков \(PR\) и \(QS\). Обозначьте центр окружности буквой \(О\). Пусть точка \(O\), симметрична точке \(О\) относительно точки \(М\). Тогда четырёхугольник \(РО_{1}RO\) - параллелограмм, поэтому\(РО_{1} \perp CD\). Аналогичные рассуждения показывают, что \(O_{1}\), искомая точка.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38610: Окружности \(S_{1}\) и \(S_{2}\) симметричны относительно точки \(А\). Угол \(ОАВ\) прямой, поскольку \(ОВ\) - диаметр окружности \(S_{1}\). Поэтому точка, симметричная точке \(В\) относительно точки \(А\), лежит на окружности \(S\). Она лежит также и на окружности \(S_{2}\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38611: Центр симметрии выпуклого многоугольника не может быть его вершиной, поэтому вершины выпуклого многоугольника, имеющего центр симметрии, разбиваются на пары.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38612: Предположите, что выпуклый многоугольник имеет два центра симметрии; обозначьте их \(O_{1}\) и \(O_{2}\). Рассмотрите ту часть многоугольника, которая лежит на прямой \(O_{1}O_{2}\). Эта фигура является отрезком и имеет центры симметрии \(O_{1}\) и \(O_{2}\). Но у отрезка только один центо симметрии его середина.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38613: Первый игрок кладёт монету в центр стола, а затем кладёт монеты симметрично монетам второго игрока относительно центра стола. Первый игрок всегда может сделать очередной ход. Ясно также, что игра завершится за конечное число ходов.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38614: Пусть точка \(Е\) симметрична точке \(D\) относительно точки \(Р\). Если \(S_{PCD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\), то \(S_{PCE} = S_{PCD} = S_{PBC}+S_{PBE}/), позтому точка \(В\) лежит на отрезке \(ЕС\). Ясно также, что \(EB \parallel AD\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38615: Возьмём на ломаной точки \(А\) и \(В\), делящие её периметр пополам. Тогда \(АВ < 2/). Докажем, что все точки ломаной лежат внутри круга радиуса 1 с центром в точке \(О\) - середине отрезка \(АВ\). Пусть \(M\) - произвольная точка ломаной, а точка \(М_{1}\) симметрична ей относительно точки \(О\). Тогда \(МО = \frac{M_{1}M}{2} < \frac{M_{1}A + AM}{2} = \frac{BM + AM}{2}<1\), так как \(ВМ + AM\) не превосходит половины длины ломаной.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38616: Точка /(С_{1}/), симметричная точке \(С\) относительно гипотенузы \(АВ\), не может лежать на продолжении средней линии, параллельной гипотенузе. Пусть для определённости она лежит на прямой \(MN\), где \(М\) и \(N\) - середины сторон \(АВ\) и \(ВС\) (рис. 265). Тогда четырёхугольник \(ACMC_{1}\) - ромб, \(2\alpha + \beta = 90^|circ\) и \(\alpha + 2\beta = 90^\circ\).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38617: Пусть прямые \(АM\) и \(ВМ\) пересекают окружность в точках \(В_{1}\) и \(А_{1}\); эти точки симметричны точкам \(В\) и \(А\) относительно диаметра. Угол \(АОМ\) равен полусумме градусной меры дуги \(АВ\) и равной ей дуги \(А_{1}В_{1}\) поэтому он равен градусной мере дуги \(АВ\). Центральный угол \(АОВ\) тоже равен градусной мере дуги \(АВ\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38618: Пусть точка \(В_{1}\) симметрична точке \(В\) относительно прямой \(АЕ\). Тогда точки \(В\), \(H\), \(В_{1}/) и \(Е\) лежат на одной окружности. Поэтому \( \angle EHC = \angle EBB_{1} = 45^\cdot\)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38619: Воспользовавшись результатом задачи 21.11, докажите, что указанная прямая симметрична прямой \(ВС\) относительно прямой \(AD\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38620: Пусть точки \(С_{1}\) и \(С_{3}\) симметричны точке \(С\) относительно прямых \(АВ\)
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38621: Вocпользуйтесь равенствами \( \angle B_{1}OA = 2\angle BOA\) и \( \angle АОC_{1} = 2\angle АОС\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38622: Пусть точки \(В_{1}\) и \(С_{1}\) симметричны точке \(А\) относительно прямых \(ОВ\) и \(ОС\) (рис. 267). Угол \(ВОС\) лежит внутри угла \(В_{1}ОC_{1}\) поэтому отрезок \(В_{1}С_{1}\) пересекает стороны угла в некоторых точках \(В_{2}\) и \(С_{2}\). Выпустив бильярдный шар из точки \(А\) в точку \(В_{2}) (или в точку (С_{2}/)), получите искомую траекторию
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38623: Ось симметрии прямой не может пересекать её под острым углом.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38624: Вершины многоугольника, не лежащие на его оси симетрии, разбиваются на пары. Ось симметрии треугольника серединцый перпендикуляр к отрезку, соединяющему две вершинытреугольника, не лежащие на оси.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38625: Если у треугольника есть две оси симметрии, то все его стороны равны.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38626: Пусть ось симметрии четырёхугольника не является диагональ. Тогда по крайней мере три его вершины не лежат на оси симметрии, поэтому две вершины лежат по одну сторону от оси. Две другие вершины симметричны им.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38627: Вершины многоугольника, не лежащие на оси симметрии, разбиваются на пары.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38628: Пусть у четырёхугольника есть две оси симметрии. Если одна из них является его диагональю, то четырёхугольник ромб. Если же обе оси не диагонали, то пары вершин симметричны относительно них и четырехугольник - прямоугольник.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38629: Вершины семнадцатиугольника, не лежащие на оси симметрии, мокно разбить на пары симметричных друг другу вершин.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38630: Проведите диаметр \(КL\) первой окружности и рассмотрите параллельный перенос, переводящий точку \(L\) в точку \(К\) (рис. 268). Этот параллельный перенос переводит первую окружность во вторую, а точку \(А\) в некоторую точку \(А_{1}\)второй окружности. При этом \(\angle LAK = 90^\circ\) и \(LA \parallel KA_{1}\). Поэтому \(\angle АКА_{1} = 90^\circ\), а значит, точка \(А\), совпадает с точкой \(В\)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38631: Рассмотрите параллельный перенос, переводящий одну окружность в другую. При этом точка \(М\) переходит в некоторую точку \(М_{1}\) (рис. 269). Угол \(NMM_{1}\) прямой, поэтому \(M_{1}N\) - диаметр окружности. Следовательно, \(MN^{2} + AB^{2} = MN^{2} + M_{1}M^{2} = M_{1}N^{2} = 4R^{2}/).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38632: Рассмотрите параллельный перенос, переводящий точки \(А\) и \(В\) в точки \(D\) и \(С\) соответственно. При этом точка \(М\) переходит в некоторую точку \(N\) (рис. 270). Четырёхугольник \(DNCM\) обладает требуемыми свойствами.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38633: Поверните квадрат \(ABCD\) относительно точки \(А\) на \(90^\circ\\) так, чтобы точка \(В\) перешла в точку \(D\). При этом повороте точка \(М\) переходит в некоторую точку \(М_{1}\) (рис. 271). Ясно, что \(\angle M_{1}AK = \angle M_{1}AD + \angle DAK = \angle MAB + \angle DAK = \angle MAK + \angle DAK = \angle MAD\). Далее,\(\angle MAD = \angle BMA = \angle DM_{1}A\). Таким образом, \(\angle M_{1}AK = \angle DM_{1}A\), поэтому \(AK = KM_{1} = KD + DM_{1} = KD + BM\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38634: При повороте на \(90^\circ\) с центром \(Р\) прямые \(РА_{1}\), \(РВ_{1}\), \(РМ_{1}\) и \(СН\) переходят в прямые, параллельные прямым \(СА\), \(СВ\), \(СМ\) и \(АВ\) соответственно. Следовательно, при таком повороте треугольника \(РА_{1}В_{1}\) отрезок \(РМ_{1}\) переходит в медиану повёрнутого треугольника.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38635: Рассмотрите поворот на \(90^\circ\) с центром \(О\), переводящий вершину \(С\) в вершину \(А\), а вершину \(F\) в вершину \(D\). При этом повороте точка \(А\) переходит в некоторую точку \(А_{1}\), а точка \(М_{1}\)- в точку \(М_{1}\). Точки \(М_{1}\) и \(O\) - середины сторон \(А_{1}D\) и \(А_{1}С\) треугольника \(A_{1}CD\) поэтому \(OM_{1} \parallel CD\). Ho \(OM_{1} \perp OM\), поэтому \(CD \perp OM|).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38636: При повороте на \(90^\circ\) с центром в точке пересечения диагоналей квадрата, переводящем точку \(А_{1}\) в точку \(А_{2}\), проведенные прямые переходят в прямые /(A_{2}P/), /(A_{3}P/), /(A_{4}P/) и /(A_{1}P/) соответственно.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38637: Рассмотрите поворот с центром \(А|) на \(90^\circ\), при котором точка \(В\) переходит в точку \(D\). Пусть точка \(М_{1}\) - образ точки \(М\) при этом повороте. По условию \(МК + MC + CK = (BM + MC) + (KD + CK)\), поэтому \(MK = BM + KD = DM_{1} + KD = KM_{1}\) . Кроме того, \(АМ - AM_{1}\), поэтому треугольники \(АМК\) и \(АМ_{1}L\) равны и \(\angle MAK = \angle M_{1}AK = \frac{1}{2} \angle MAM_{1} = 45^\circ\)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38638: Рассмотрите поворот на \(90^\circ\) с центром в так, чтобы точка \(С\) перешла в точку \(А\) (рис. 272). Точка \(Х\) при этом перейдёт в некоторую точку \(X_{1}\). В треугольнике \(ХВХ_{1}\) угол \(ХВХ_{1}\) прямой и \(ВХ ВХ_{1}\), поэтому \(\angle X_{1}XB = 45^\circ\) и, кроме того, \(XX_{1} = 2 \sqrt{2}\). Таким образом, \(X_{1}Х^{2} + АХ^{2} = 9 = X_{1}A^{2}\), поэтому \(\angle X_{1}ХА = 90^\circ\). Следовательно, \(\angleAXB = \angle X_{1}XB + \angle X_{1}XA = 45^\circ + 90^\circ - 135^\circ\).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38639: Pacсмотрите поворот на \(60^\circ\) с центром \(С\), переводящий точку \(Е\) в точку \(D\). При этом точка \(В\) переходит в точку \(А\), т. е. отрезок \(ВЕ\) переходит в отрезок \(AD\). Поэтому середина \(Р\) отрезка \(ВЕ\) переходит в середину \(М\) отрезка \(AD\). Это означает, что треугольник \(СРМ\) равносторонний.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38640: Рассмотрите поворот на \(60^\circ\) с центром \(С\), при котором точка \(А\) переходит в точку \(В_{1}\). При этом точка \(А_{1}\) переходит в точку \(В\), поэтому отрезок \(АА_{1}\) переходит в отрезок \(В_{1}В\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38641: Пусть при повороте на \(60^\circ\) с центром \(В\), переводящем точку \(А\) в точку \(С\), точка \(D\) переходит в точку \(D_{1}\). Тогда \(\angle CD_{1}B = \angle ADB - 120^\circ\) и \(\angle BD_{1}D = 60^\circ\),поэтому точка \(D_{1}\) лежит на отрезке \(DC\) и \(DC = DD_{1} + D_{1}C = DB + DA\).
Ответ: Утверджение доказано.