Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Точки \(М\) и \(N\) - середины сторон \(AB\) и \(AD\) параллелограмма \(ABCD\), отрезки \(BN\) и \(СМ\) пересекаются в точке \(Р\) (рис. 69). Найдите отношение \(BP : PN\).

Решение №38327: Проведите через точки \(А\) и \(D\) прямые, параллельные прямой \(МС\). Они пересекают прямые \(CD\) и \(АВ\) в точках \(Е\) и \(G\), а прямую \(BN\) в точках \(Q\) и \(R\) (рис. 220). Отрезки \(BP\), \(PQ\) и \(QR\) равны, и точка \(N\) - середина отрезка \(QR\).

Ответ: 2 к 1

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Основания \(AD\) и \(BC\) трапеции \(ABCD\) равны \(a\) и \(b\) \((а > b)\). Найдите длину отрезка \(MN\), концы которого делят боковые стороны трапеции в отношении \(AM : MB = DN : NC = p : q\).

Решение №38328: Отметьте на стороне \(AD\) точку \(F\) так, что \(BF \parallel CD\). Пусть \(E\) - точка пересечения отрезков \(MN\) и \(BF\) (рис. 221). Тогда \(ME = \frac{q(a - b)}{p+q}\), поэтому \(MN = ME + EN = \frac{q(a - b)}{p+q} + b = \frac{qa+pb}{p+q}\).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Решение №38329: Пусть \(O\) - точка пересечения диагоналей трапеции, \(P\) - точка пересечения продолжений боковых сторон, \(M\) - середина одного из оснований. Тогда прямая \(РМ\) проходит через середину \(N\) другого основания и прямая \(ОМ\) тоже проходит через точку \(N\). Поэтому точки \(O\) и \(P\) лежат на прямой \(MN\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Точки \(М\) и \(N\) - середины сторон \(ВС\) и \(AD\) прямоугольника \(ABCD\), точка \(К\) лежит на продолжении диагонали \(АС\) за точку \(А\). Отрезок \(КМ\) пересекает сторону \(АВ\) в точке \(L\). Докажите, что \(\angle LNA = \angle ANK\).

Решение №38330: Пусть \(Р\) - точка пересечения прямых \(АВ\) и \(КN\). Прямые \(KL\), \(КА\) и \(КР\) высекают на параллельных прямых пропорциональные отрезки, поэтому \(LA = AP\) (рис. 222).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

В треугольнике \(АВС\) проведены биссектрисы \(АА_{1}\) и \(ВВ_{1}\). Докажите, что расстояние от любой точки \(М\) отрезка \(А_{1}В_{1}\) до прямой \(АВ\) равно сумме расстояний от точки \(М\) до прямых \(АС\) и \(ВС\).

Решение №38331: Точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Пусть \(а\) - расстояние от точки \(А_{1}\) до прямых \(АС\) и \(АВ\), \(b\) - расстояние от точки \(В_{1}\) до прямых \(АВ\) и \(ВС\). Далее, \(А_{1}М : В_{1}М = р : q\). Тогда расстояния от точки \(М\) до прямых \(АС\) и \(ВС\) равны \(\frac{qa}{p+q}\) и \(\frac{pb}{p+q}\) соответственно. Согласно задаче 17.12 расстояние от точки \(М\) до прямой \(АВ\) равно \(\frac{qa+pb}{p+q}\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Докажите, что отношение высот подобных треугольников равно отношению их соответственных сторон. Докажите то же самое для биссектрис и медиан.

Решение №38332: Рассмотрите прямоугольный треугольник, катет которого - высота треугольника, а гипотенуза - сторона треугольника. Для биссектрисы и медианы рассмотрите один из двух треугольников, на которые они разделяют треугольник.

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Углы \(А\) и \(С\) треугольника \(АВС\) равны \(72^\circ\). Докажите, что \(AB^2 = AC^2 + AB \cdot AC\).

Решение №38333: Проведите биссектрису \(AD\) треугольника \(ABC\). Тогда \(\Delta ABC \sim \Delta CAD\), поэтому \(AB : AC = AC : (AB - AC)\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Углы \(А\) и \(В\) трапеции \(АВСD\) прямые, а её диагонали перпендикулярны. Основания трапеции равны \(a\) и \(b\). Найдите её высоту.

Решение №38334: Прямоугольные треугольники \(АВС\) и \(DAB\) подобны, поэтому \(АВ : ВС = AD : АВ\).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Пусть \(А_{1}\) и \(С_{1}\) - проекции вершин \(А\) и \(С\) треугольника \(ABC\) на биссектрису внешнего угла при вершине \(В\). Докажите, что отрезки \(АС_{1}\) и \(СА_{1}\) пересекаются на биссектрисе угла \(АВС\).

Решение №38335: Пусть отрезки \(АС_{1}\) и \(СА_{1}\) пересекаются в точке \(К\). Из подобия пар треугольников \(АКА_{1}\) и \(С_{1}КС\), \(АВА_{1}\) и \(СВС_{1}\) следует, что \(АК : C_{1}K = AA_{1} : C_{1}C = BA_{1} : BC_{1}\), поэтому \(ВК \parallel AA_{1}\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Углы треугольника \(ABC\) связаны соотношением \(3 \angle A + 2 \angle B = 180^\circ\). Докажите, что \(AB^2 = BC^2 + AB \cdot AC\).

Решение №38336: Из равенства \(\angle A + \angle B = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}\) следует, что \(\angle C = 90^\circ + \frac{\angle A}{2}\). Поэтому на стороне \(АВ\) можно отметить точку \(D\) так, что \(AD = AC\). При этом \(\angle ACD = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}\) и \(\angle DCB = \angle C - \angle ACD = \angle A\). Следовательно, \(\Delta ABC \sim \Delta CBD\) и \(BC : BD = AB: CB\), т. e. \(BC : (AB - AC) = AB : CB\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Прямая, проходящая через вершину \(А\) квадрата \(ABCD\), пересекает сторону \(CD\) в точке \(Е\) и прямую \(ВС\) в точке \(F\). Докажите, что \(\frac{1}{AE^2} + \frac{1}{AF^2} = \frac{1}{AB^2}\).

Решение №38337: Из подобия прямоугольных треугольников \(ABF\) и \(EDA\) следует, что \(AB : AE = AD : AE = BF : AF\). Поэтому \(\frac{AB^2}{AE^2} + \frac{AB^2}{AF^2} = \frac{BF^2}{AF^2} + \frac{AB^2}{AF^2} = 1\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Через точку \(Р\) биссектрисы угла проведена прямая, отсекающая на его сторонах отрезки, равные \(а\) и \(b\). Докажите, что величина \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) не зависит от выбора этой прямой.

Решение №38338: Пусть проведённая прямая пересекает стороны угла с вершиной \(О\) в точках \(А\) и \(В\). Отметим на отрезках \(ОA\) и \(ОВ\) точки \(К\) и \(L\) так, что \(РК \parallel OB\) и \(PL \parallel OA\) (рис. 223). Тогда \(OKPL\) - ромб; обозначим длину его стороны буквой \(р\). Из подобия треугольников \(АКР\) и \(PLB\) получаем \((а - р): р = = р : (b - p)\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Внутри треугольника \(АВС\) отмечена точка \(O\), прямые \(АО\), \(ВО\) и \(СО\) пересекают стороны треугольника в точках \(А_{1}\), \(B_{1}\) и \(C_{1}\). Докажите, что \(\frac{AO}{OA_{1}} = \frac{AB_{1}}{B_{1}C} + \frac{AC_{1}}{C_{1}B}\).

Решение №38339: Проведите через точку \(А\) прямую, параллельную стороне \(ВС\). Прямые \(ВО\) и \(СО\) пересекают её в некоторых точках \(В_{2}\) и \(С_{2}\) (рис. 224). Из подобия треугольников следует, что \(\frac{AB_{1}}{B_{1}C} + \frac{AC_{1}}{C_{1}B} = \frac{AB_{2}}{BC} + \frac{AC_{2}}{BC} = \frac{C_{2}B_{2}}{BC} = \frac{AO}{OA_{1}}\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

В остроугольном треугольнике \(АВС\) проведены высоты \(АА_{1}\) и \(ВВ_{1}\). Докажите, что \(\Delta A_{1}B_{1}C \sim \Delta АВС\).

Решение №38340: Прямоугольные треугольники \(АСА_{1}\) и \(ВСВ_{1}\) с общим углом \(C\) подобны, поэтому \(СА_{1} : СВ_{1} = CA : СВ\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Докажите, что проекции основания высоты остроугольного треугольника на стороны, её заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.

Решение №38341: Пусть \(АА_{1}\), \(BB_{1}\) и \(CC_{1}\) - высоты треугольника \(ABC\), \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) - основания перпендикуляров, проведённых из точки \(В_{1}\) к сторонам и высотам (рис. 225). Из задачи 17.24 следует, что прямые \(KN\), \(KL\) и \(MN\) параллельны одной и той же прямой.

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Из вершины \(А\) параллелограмма \(ABCD\) проведены перпендикуляры \(АМ\) и \(AN\) к прямым \(ВС\) и \(СD\). Докажите, что \(\Delta ABC \sim \Delta MAN\).

Решение №38342: Из подобия прямоугольных треугольников \(AMB\) и \(AND\) следует, что \(AM : AN = AB : AD = AB : ВC\). Кроме того, \(\angle ABC = \angle MAN\), поскольку стороны этих углов взаимно перпендикулярны и эти углы либо оба острые, либо оба тупые.

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Две стороны треугольника равны двум сторонам подобного ему треугольника. Могут ли эти треугольники быть неравными?

Решение №38343: Рассмотрите треугольники со сторонами 1, \(а\), \(а^2\) и \(а\), \(а^2\), \(а^3\).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

В равнобедренном треугольнике \(АВС\) из середины \(Н\) основания \(ВС\) проведён перпендикуляр \(НЕ\) к боковой стороне \(АС\); точка \(O\) - середина отрезка \(НЕ\). Докажите, что прямые \(АО\) и \(ВЕ\) перпендикулярны.

Решение №38344: Пусть точка \(D\) - середина отрезка \(ВН\). Треугольники \(ВНА\) и \(НЕА\) подобны, поэтому \(AD: AO = AB: AH\) и \(\angle DAH = \angle OAE\). Следовательно, \(\angle DAO = \angle BAH\). Поэтому \(\Delta DAO \sim \Delta ВАН\) и \(\angle DOA = \angle BHA = 90^\circ\). Кроме того, \(DO \parallel BE\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Хорды \(АВ\) и \(CD\) окружности пересекаются в точке \(М\). Докажите, что \(\Delta АМС \sim \Delta DMB\).

Решение №38345: Вписанные углы \(ACD\) и \(ABD\) равны.

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Хорды \(АВ\) и \(СD\) окружности пересекаются в точке \(М\). Докажите, что \(AM \cdot MB = CM \cdot MD\).

Решение №38346: Стороны \(AM\) и \(СМ\) треугольника \(АМС\) пропорциональны сторонам \(DM\) и \(ВМ\) подобного ему треугольника \(DMB\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Хорды \(АВ\) и \(СD\) окружности пересекаются в точке \(М\). Докажите, что \(\frac{AC \cdot AD}{BC \cdot BD} = \frac{AM}{BM}\).

Решение №38347: Из подобия треугольников \(АМС\) и \(DMB\) следует, что \(AC : BD = AM : DM\), а из подобия треугольников \(AMD\) и \(СМВ\) следует, что \(AD : CB = DM : BM\).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Вершины равностороннего треугольника \(ABC\) лежат на окружности. На меньшей дуге \(BC\) этой окружности отмечена точка \(Р\). Отрезок \(АР\) пересекает сторону \(ВС\) в точке \(Q\). Докажите, что \(\frac{1}{PQ} = \frac{1}{PB} + \frac{1}{PC}\).

Решение №38348: Ha продолжении отрезка \(ВР\) за точку \(Р\) отметим точку \(D\) так, что \(PD = PC\). Тогда треугольник \(CPD\) равносторонний и \(CD \parallel QP\). Поэтому \(\frac{BP}{PQ} = \frac{BD}{CD} = \frac{BP+PC}{PC}\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Вершины равностороннего треугольника \(АВС\) лежат на окружности. На меньшей дуге \(АВ\) отмечена точка \(М\). Прямые \(АС\) и \(ВМ\) пересекаются в точке \(К\), а прямые \(ВС\) и \(АМ\) - в точке \(N\). Докажите, что произведение длин отрезков \(АК\) и \(BN\) не зависит от выбора точки \(М\).

Решение №38349: Каждый из углов \(АКВ\) и \(МСВ\) равен \(60^\circ - \frac{1}{2} \cup AM\), поэтому \(\angle AKB = \angle MCB = \angle BAN\). Аналогично \(\angle КВА = \angle MCA = \angle ANB\). Следовательно, \(\Delta АКВ \sim \Delta ВАN\), поэтому \(АК : AB = BA : BN\), т. e. \(AK \cdot BN = AB^2\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам.

Решение №38350: Пусть \(AD\) - биссектриса треугольника \(АВС\). Проведём из вершин \(В\) и \(С\) перпендикуляры \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) к прямой \(AD\) (рис. 226). Из подобия прямоугольных треугольников \(DBB_{1}\) и \(DCC_{1}\) следует, что \(BD: CD = BB_{1} : CC_{1}\). Из подобия прямоугольных \(ABB_{1}\) треугольников и \(ACC_{1}\) следует, что \(BB_{1} : CC_{1} = AB : AC\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Биссектриса внешнего угла с вершиной \(А\) треугольника \(АВС\) пересекает прямую \(ВС\) в точке \(D\). Докажите, что \(BD: CD = AB : AC\).

Решение №38351: Проведите из вершин \(В\) и \(С\) перпендикуляры \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) к прямой \(AD\) (рис. 227). Из подобия прямоугольных треугольников \(DBB_{1}\) и \(DCC_{1}\) следует, что \(BD : CD = BB_{1} : СС_{1}\). Из подобия прямоугольных треугольников \(ABB_{1}\) и \(ACC_{1}\) следует, что \(BB_{1} : CC_{1} = AB : AC\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

В каком отношении биссектриса \(ВЕ\) треугольника \(АВС\) делит биссектрису \(AD\), если \(АВ = с\), \(ВС = а\) и \(АС = b\)?

Решение №38352: Из того, что \(ВС = а\) и \(BD : DC = с : b\), следует, что \(BD = \frac{ac}{b+c}\). Пусть \(О\) - точка пересечения биссектрис \(AD\) и \(ВЕ\). По свойству биссектрисы треугольника \(АO : OD = AB : BD\).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

В треугольнике \(АВС\) проведена биссектриса \(AD\) и на стороне \(АВ\) отмечена точка \(Е\) так, что \(ED \parallel AC\). Найдите \(ED\), если \(АВ = с\) и \(AC = b\).

Решение №38353: Из подобия треугольников \(EBD\) и \(АВС\) следует, что \(ED : AC = BD : ВС\). Из свойства биссектрисы треугольника следует, что \(BD = \frac{ac}{b+c}\).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Точка \(M\) - середина стороны \(АВ\) треугольника \(АВС\), отрезки \(MA_{1}\) и \(MB_{1}\) - биссектрисы треугольников \(АМС\) и \(ВМС\). Докажите, что прямые \(АВ\) и \(А_{1}В_{1}\) параллельны.

Решение №38354: Согласно свойству биссектрисы треугольника \(AA_{1} : A_{1}C = AM : MC = BM : MC = BB_{1} : В_{1}С\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

В треугольнике \(АВС\), сторона \(АВ\) которого вдвое больше стороны \(АС\), проведены биссектриса \(AD\) и медиана \(СМ\). Докажите, что \(BD = 2MD\).

Решение №38355: По свойству биссектрисы \(BD = 2CD\). Кроме того, \(CD = MD\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

В треугольнике \(АВС\) угол \(А\) вдвое больше угла \(В\). Докажите, что \(BC^2 = (AC + AB) \cdot AC\).

Решение №38356: Проведите биссектрису \(AD\) треугольника \(АВС\). По свойству биссектрисы \(DC = \frac{AC \cdot BC}{AB + AC}\). Tpeугольники \(ABC\) и \(DAC\) подобны по двум углам, поэтому \(АС : ВС = DC : АС\).

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

В равнобедренном треугольнике \(АВС\) с основанием \(АС\) проведена биссектриса \(AD\). Докажите, что если \(BD = AC\), то \(AD = AC\).

Решение №38357: Пусть \(АВ = ВС = а\) и \(АС = b\). По свойству биссектрисы \(BD = \frac{a^2}{a+b}\) и \(DC = \frac{ab}{a+b}\) (рис. 228). По условию \(BD = AC\), т. e. \(\frac{a^2}{a+b} = b\). Следовательно, \(\frac{a}{a+b} = \frac{b}{a}\), поэтому \(CD: AC = AC : ВA\). Стороны треугольников \(ACD\) и \(ВАС\), заключающие равные углы, пропорциональны, поэтому они подобны и треугольник \(ACD\) тоже равнобедренный.

Ответ: Утверджение доказано.

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Точка \(С\) расположена на гипотенузе \(AF\) прямоугольного треугольника \(АВF\). Докажите, что в треугольнике \(АВС\) биссектриса \(AD\), медиана \(ВМ\) и высота \(СН\) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда \(AB = CF\).

Решение №38358: Пусть медиана \(ВМ\) и высота \(СН\) пересекаются в точке \(L\). Отрезок \(AL\) является биссектрисой треугольника \(АВМ\) тогда и только тогда, когда \(BA: AM = BL: LM\). Кроме того, \(BL : LM = CF: CM = CF : AM\).

Ответ: Утверджение доказано.

Углы \(\alpha\) и \(\beta\) могут быть как острыми, так и тупыми. Следует ли из неравенства \(\alpha < \beta\) неравенство \(sin \alpha < sin \beta\)?

Решение №38359: Синус острого угла \(\alpha\) равен синусу тупого угла \(180^\circ - \alpha\).

Ответ: NaN

Докажите, что если \(\alpha + \beta < 180^\circ\), то \(sin (\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta\).

Решение №38360: Рассмотрите треугольник \(АВС\) с углами \(angle A = \alpha\) и \(angle В = \beta\). Пусть радиус описанной около него окружности равен \(R\). Тогда \(АВ = 2Rsin (\alpha + \beta)\). Проведите высоту \(СС_{1}\). Если оба угла \(\alpha\) и \(\beta\) острые, то \(AC_{1} = 2Rsin \beta cos \alpha\) и \(BC_{1} = 2R sin \alpha cos \beta\). Поэтому из равенства \(AB = AC_{1} + С_{1}В\) следует требуемое. Случай, когда один из углов \(\alpha\) и \(\beta\) тупой или прямой, разберите самостоятельно.

Ответ: Утверджение доказано.

Докажите, что если \(\alpha + \beta < 180^\circ\), то \(cos (\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta\).

Решение №38361: Возьмите треугольник \(АВС\) со стороной \(ВС = 1\) и углами \(\angle A = \alpha\) и \(angle B = \beta\) и проведите перпендикуляр \(ВН\) к прямой \(AC\) (рис. 229). Предположите, что углы \(\alpha\), \(\beta\) и \(\alpha + \beta\) меньше \(90^\circ\). Тогда \(CH = АН - AC\), т. е. \(cos(\alpha + \beta) = \frac{sin(\alpha + \beta)}{sin\alpha}cos\alpha - \frac{sin\beta}{sin\alpha}\). Воспользовавшись тем, что \(sin (\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta\), легко получить требуемое. Случаи, когда один из углов \(\alpha\), \(\beta\) и \(\alpha + \beta\) больше или равен \(90^\circ\), разберите самостоятельно.

Ответ: Утверджение доказано.

Диагональ \(АС\) квадрата \(ABCD\) является гипотенузой прямоугольного треугольника \(АСК\), причём точки \(В\) и \(К\) лежат по одну сторону от прямой \(АС\). Докажите, что \(ВК = \frac{|AK-CK|}{\sqrt2}\) и \(DK = \frac{|AK+CK|}{2^(1/2)}\)\).

Решение №38362: Точки \(B\), \(D\) и \(К\) лежат на окружности с диаметром \(АС\). Для определённости будем считать, что \(\angle KCA = \varphi \leq 45^\circ\). Тогда \(BK = AC sin (45^\circ - \varphi) = \frac{AC(cos \varphi - sin \varphi)}{2^(1/2)}\) и \(DK = AC sin (45^\circ + \varphi) = \frac{AC(cos \varphi + sin \varphi)}{2^(1/2)}\). Кроме того, \(AC sin \varphi = AK\) и \(ACcos \varphi = CK\).

Ответ: Утверджение доказано.

Докажите, что для углов любого треугольника \(АВС\) выполняется равенство \(2cos A cos B cos C = 1 - (cos A)^2 - (cosB)^2 - (cosC)^2\).

Решение №38363: Оба выражения равны \(2sin A sin B cos A cos B - 2(cos A)^2(cos B)^2\).

Ответ: Утверджение доказано.

Докажите, что для углов любого треугольника \(АВС\) выполняется равенство \(2sin A sin B cos C = 1 + (cos C)^2 - (cosA)^2 - (cosB)^2\).

Решение №38364: Оба выражения равны \(2(sin A)^2(sin B)^2 - 2sin A sin B cosA cos B\).

Ответ: Утверджение доказано.

Докажите, что \((sin \alpha)^2 + (sin (60^\circ + \alpha))^2 + (sin(60^\circ - \alpha))^2 = \frac{3}{2}\).

Решение №38365: Из формулы синуса суммы углов следует, что \((sin (60^\circ \pm \alpha))^2 = \frac{1}{4}(3^(1/2) cos \alpha \pm sin \alpha)^2 = \frac{1}{4}(3(cos \alpha)^2 \pm 2 3^(1/2)cos \alpha sin \alpha + (sin \alpha)^2)\). Поэтому \((sin(60^\circ + \alpha)^2 + (sin(60^\circ - \alpha)^2 = \frac{1}{2}(3(cos \alpha)^2 + (sin \alpha)^2)\).

Ответ: Утверджение доказано.

Точка \(X\) движется по окружности, описанной около равностороннего треугольника \(АВС\). Докажите, что при этом величина \(AX^2 + BX^2 + CX^2 остается постоянной.

Решение №38366: Пусть для определённости точка \(X\) находится на дуге \(АВ\) и на дугу \(АХ\) опирается центральный угол \(2\alpha\). Тогда \(AX = 2Rsin \alpha\), \(BX = 2R sin (60^\circ - \alpha)\) и \(CX = 2Rsin (60^\circ + \alpha)\); здесь \(R\) - радиус описанной окружности. Поэтому согласно задаче 18.7 \(AX^2 + BX^2 + CX^2 = 6R^2\).

Ответ: Утверджение доказано.

Угол \(С\) треугольника \(АВС\) тупой, \(АА_{1}\) и \(BB_{1}\) - высоты треугольника. Докажите, что треугольники \(АВС\) и \(А_{1}В_{1}С\) подобны, причём коэффициент подобия равен \(-cos С\).

Решение №38367: У треугольников \(АВС\) и \(А_{1}В_{1}С\) углы \(ACB\) и \(A_{1}CB_{1}\) вертикальные, \(A_{1}C = -AC cos C\) и \(B_{1}C = -BC cos C\).

Ответ: Утверджение доказано.

Отрезки \(АА_{1}\) и \(ВВ_{1}\) - высоты треугольника \(АВС\). Найдите угол \(С\), если отрезок \(А_{1}В_{1}\) вдвое меньше стороны \(АВ\).

Решение №38368: Согласно примеру 2 на с. 70 и задаче 18.9 \(A_{1}B_{1} = \pm AB cos C\), поэтому \(cos C = \pm frac{1}{2}\).

Ответ: NaN

В остроугольном треугольнике \(АВС\) проведены высоты \(АА_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\). Докажите, что отношение площади треугольника \(A_{1}B_{1}C_{1}\) к площади треугольника \(АВС\) равно \(2 cos A cos B cos C\).

Решение №38369: Треугольник \(AB_{1}C_{1}\) подобен треугольнику \(ABC\), и коэффициент подобия равен \(cos А\), поэтому \(B_{1}C_{1} = BC cos A\). Аналогично \(A_{1}C_{1} = AC cos В\). Кроме того, \(\angle A_{1}C_{1}B_{1} = 180^\circ - 2 \angle C\). Поэтому отношение площади треугольника \(А_{1}В_{1}С_{1}\) к площади треугольника \(АВC\) равно \(frac{cos A cos B sin 2C}{sinC} = 2cos A cos B cos C\).

Ответ: Утверджение доказано.

Из вершин произвольного выпуклого четырёхугольника проведены перпендикуляры к его диагоналям. Докажите, что четырёхугольник с вершинами в основаниях этих перпендикуляров подобен исходному.

Решение №38370: Пусть \(O\) - точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника \(ABCD\). Выполните сначала гомотетию с коэффициентом \(cos AOB\) и центром \(О\), а затем симметрию относительно биссектрисы угла \(АОВ\). При этом преобразовании вершины четырёхугольника переходят в основания перпендикуляров.

Ответ: Утверджение доказано.

Докажите, что высота \(СН\) треугольника \(АВС\) равна \(\frac{AC \cdot BC}{2R}\), где \(R\) - радиус окружности, описанной около треугольника.

Решение №38371: Высота \(СН\) равна \(AC sin A = AC \times \frac{BC}{2R}\).

Ответ: Утверджение доказано.