Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Найдите значение выражения: \(\frac{(x+1)^{3}}{x}-\frac{(x+1)^{2}}{x+2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2} при x=-2,1\)

Решение №5806: \(\frac{(x+1)^{3}}{x}-\frac{(x+1)^{2}}{x+2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{(x+1)^{3}}{x}-\frac{1}{x}-\frac{(x+1)^{2}}{x+2}+\frac{1}{x+2}=\frac{(x+1)^{3}-1}{x}=-(\frac{(x+1)^{2}-1}{x+2})=\frac{x^{3}+3x^{2}+3x+1-1}{x}-\frac{x^{2}=2x+1-1}{x+2}=\frac{x(x^{2}+3x+3)}{x}-\frac{x^{2}+2x}{x+2}=x^{2}+3x+3-\frac{x(x+2)}{x+2}=x^{2}+3x+3-x=x^{2}+2x+3=(x^{2}+2x+1)+2=(x+1)^{2}+2; x=-2,1; (-2,1+1)^{2}+2=(-1,1)^{2}+2=1,21+2=3,21\)

Ответ: \(3,21\)

Пусть \(f(x)=\frac{2x+3}{x^{2}-x+1}+\frac{3-2x}{x^{2}+x+1}\); Найдите f(x)-f(-x)\)

Решение №5807: \( f(x)-f(-x)=\frac{2x+3}{x^{2}-x+1}+\frac{3-2x}{x^{2}+x+1}-(\frac{2x+3}{x^{2}-x+1}+\frac{3-2x}{x^{2}+x+1})=\frac{2x+3}{x^{2}-x+1}+\frac{3-2x}{x^{2}+x+1}-\frac{3-2x}{x^{2}+x+1}-\frac{3+2x}{x^{2}-x+1}=\frac{2x+3}{x^{2}-x+1}-\frac{3+2x}{x^{2}-x+1}+\frac{3-2x}{x^{2}+x+1}-\frac{3-2x}{x^{2}-x+1}=\frac{2x+3}{x^{2}-x+1}-\frac{3+2x}{x^{2}-x+1}+\frac{3-2x}{x^{2}+x+1}-\frac{3-2x}{x^{2}+x+1}-\frac{3-2x}{x^{2}+x+1}=\frac{2x+3-3-2x}{x^{2}-x+1}+\frac{3-2x-3+2x}{z^{2}+x+1}=0+0=0\)

Ответ: 0

Пусть f(x)=\frac{2x^{2}+3x}{3x^{2}-7x+5}-\frac{2x^{2}-3x}{3x^{2}+7x+5}; Найдите f(x)+f(-x)\)

Решение №5808: \(f(x)+f(-x)=\frac{2x^{2}+3x}{3x^{2}-7x+5}-\frac{2x^{2}-3x}{3x^{2}+7x+5}+(\frac{2x^{2}+3x}{3x^{2}-7x+5}-\frac{2x^{2}-3x}{3x^{2}+7x+5})=\frac{2x^{2}+3x}{3x^{2}-7x+5}-\frac{2x^{2}-3x}{3x^{2}+7x+5}+(\frac{2x^2}-3x}{3x^{2}+7x+5}-\frac{2n^{2}+3x}{3x^{2}-7x+5})=\frac{2x^{2}+3x}{3x^{2}-7x+5}-\frac{2x^{2}+3x}{3x^{2}-7x+5}-\frac{2x^2}-3x}{3x^{2}+7x+5}-\frac{2n^{2}-3x}{3n^{2}+7x+5}=\frac{2x^{2}+3x-2x^{2}-3x}{3x^{2}-7x+5}+\frac{2x^{2}-3x-2x^{2}+3x}{3x^{2}+7x+5}=0+0=0\)

Ответ: 0

Пусть \(x=\frac{a-b}{a+b}; y=\frac{b-c}{b+c}; z=\frac{c-a}{c+a}\). Докажите, что справедливо равенство \((1+x)(1+y)(1+z)=(1-x)(1-y)(1-z)\)

Решение №5809: \(x=\frac{a-b}{a+b}; y=\frac{b-c}{b+c}; z=\frac{c-a}{c+a}; (1+x)(1+y)(1+z)=(1-x)(1-y)(1-z)=(1+\frac{a-b}{a+b})(1+\frac{b-c}{b+c})(1+\frac{c-a}{c+a})=(\frac{a+b+a-b}{a+b})(\frac{b+c+b-c}{b+c})(\frac{c+a+c-a}{c+a})=\frac{2a}{a+b} \cdot \frac{2b}{b+c} \cdot \frac{2c}{c+a} =\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}; (1-x)(1-y)(1-z)=(1-\frac{a-b}{a+b})(1-\frac{b-c}{b+c})(1-\frac{c-a}{c+a})=(\frac{a+b-a+b}{a+b})(\frac{b+c-b+c}{b+c})(\frac{c+a-c+a}{c+a})=\frac{2b}{a+b} \cdot \frac{2c}{b+c} \cdot \frac{2a}{c+a} =\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}; \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}, значит (1+z)(1+y)(1+z)=(1-x)(1-y)(1-y)(1-z)\)

Ответ: \((1-x)(1-y)(1-y)(1-z)\)

Упростите выражение: \(\frac{a^{3}}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^{3}}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^{3}}{(c-a)(c-b)}\)

Решение №5810: \(\frac{a^{3}}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^{3}}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^{3}}{(c-a)(c-b)}=\frac{a^{3}}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^{3}}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^{3}}{(c-a)(c-b)}=\frac{a^{3}}{(a-b)(a-c)}-\frac{b^{3}}{(a-b)(b-c)}+\frac{c^{3}}{(a-b)(b-c)}=\frac{a^{2}(b-c)-b^{3}(a-c)+c^{3}(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{a^{3}b-a^{3}c-ab^{3}+b^{3}+b^{3}c+ac^{3}-bc^{3}}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ab(a^{2}-b^{2})+c(b^{3}-a^{3})+c^{3}(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ab(a-b)(a+b)-c(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})+c^{3}(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ab(a-b)(a+b)-c(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})+c^{3}(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{(a-b)(ab(a+b)-c(a^{2}+ab+b^{2})+c^{3})}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{a^{2}b+ab^{2}-a^{2}c-abc-b^{2}c+c^{3}}{(a-c)(b-c)}=\frac{a^{2}(b-c)+ab(b-c)-c(b^{2}-c^{2})}{(a-c)(b-c)}=\frac{a^{2}(b-c)+ab(b-c)-c(b-c)(b+c)}{(a-c)(b-c)}=\frac{(b-c)(a^{2}+ab-c(b+c))}{(a-c)(b-c)}=\frac{a^{2}+ab-cb-c^{2}}{a-c}=\frac{a^{2}-c^{2}+ab-bc}{a-c}=\frac{(a-c)(a+c)+b(a-c)}{a-c}=\frac{(a-c)(a+c)+b(a-c)}{a-c}=\frac{(a-c)(a+c+b)}{a-c}=a+b+c\)

Ответ: \(a+b+c\)

Упростите выражение: \(\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{a-b}{a+b}+\frac{(b-c)(c-a)(a-b)}{(b+c)(c+a)(a+b)}\)

Решение №5812: \(\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{a-b}{a+b}+\frac{(b-c)(c-a)(a-b)}{(b+c)(c+a)(a+b)}=\frac{(b-c)(c+a)(a+b)+(c-a)(b+c)(a+b)-(a-b)(b+c)(c+a)-(b-c)(c-a)(a-b)}{(b+c)(c+a)(a+b)}=\frac{(b-c)(ac+bc+a^{2}+ab+ac-bc-a^{2}+ab)+(b+c)(ac+bc-a^{2}-ab+a^{2}+ac-bc-ab)}{(b+c)(c+a)(a+b)}=\frac{(b-c)(2ac+2ab)+(b+c)(2ac-2ab)}{(b+c)(c+a)(a+b)}=\frac{2abc+2ab^{2}-2ac^{2}-2abc+2abc-2ab^{2}+2ac^{2}-2abc}{(b+c)(c+a)(a+b)}=\frac{0}{((b+c)(c+a)(a+b)}=0\)

Ответ: 0

Докажите, что при всех натуральных значениях \(n\) верно равенство \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

Решение №5813: \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1 \cdot (n+1)-1 \cdot n}{n(n+1)}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}; \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}\)

Ответ: NaN

Докажите, что при всех натуральных значениях \(n\) верно равенство \(\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\)

Решение №5815: \(\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2n+1-2n+1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\)

Ответ: NaN

Упростите выражение: \(\frac{6a}{b}:\frac{3a}{b}\)

Решение №5817: \(\frac{6a}{b}:\frac{3a}{b}=frac{6a}{b} \cdot \frac{b}{3a}=\frac{6a \cdot b}{b \cdot 3a}=2\)

Ответ: \(2\)

Упростите выражение: \((-\frac{9}{2x}) \cdot (-\frac{5x}{3})\)

Решение №5819: \((-\frac{9}{2x}) \cdot (-\frac{5x}{3})=frac{9 \cdot 5x}{2x \cdot 3}=\frac{3 \cdot 5}{2}=\frac{15}{2}=7,5\)

Ответ: \(7,5\)

Упростите выражение: \(\frac{x-y}{4a} \cdot \frac{4}{x-y}\)

Решение №5833: \(\frac{x-y}{4a} \cdot \frac{4}{x-y}=frac{(x-y) \cdot 4}{4a \cdot (x-y)}=\frac{1}{a}\)

Ответ: \(\frac{1}{a}\)

Упростите выражение: \(\frac{15p+12q}{13p}:\frac{15p+12q}{13}\)

Решение №5836: \(\frac{15p+12q}{13p}:\frac{15p+12q}{13}=frac{15p+12q}{13p} \cdot \frac{13}{15p+12q}=\frac{(15p+12q) \cdot 13}{13p \cdot (15p+12q)}=\frac{1}{p}\)

Ответ: \(\frac{1}{p}\)

Упростите выражение: \(\frac{45m-n}{23c} \cdot \frac{c}{n-45m}\)

Решение №5838: \(\frac{45m-n}{23c} \cdot \frac{c}{n-45m}=-frac{(n-45m) \cdot c}{23c \cdot (n-45m)}=-\frac{1}{23}\)

Ответ: \(-\frac{1}{23}\)

Упростите выражение: \(\frac{98p-17q}{4}:\frac{17q-98p}{16m}\)

Решение №5839: \(\frac{98p-17q}{4}:\frac{17q-98p}{16m}=-frac{17q-98p}{4} \cdot \frac{16m}{17q-98p}=-\frac{(17q-98p) \cdot 16m}{4 \cdot (17q-98p)}=-4m\)

Ответ: \(-4m\)

Упростите выражение: \(\frac{m(m-n)}{p(p+q)} \cdot \frac{p^{2}(p+q)}{m-n}\)

Решение №5843: \(\frac{m(m-n)}{p(p+q)} \cdot \frac{p^{2}(p+q)}{m-n}=frac{m \cdot (m-n) \cdot p^{2} \cdot (p+q)}{p(p+q)(m-n)}=mp\)

Ответ: \(mp\)

Упростите выражение: \((a-b)^{2}:\frac{a-b}{a-2b}\)

Решение №5848: \((a-b)^{2}:\frac{a-b}{a-2b}=(a-b)^{2} \cdot frac{a-2b}{a-b}=\frac{(a-b)^{2} \cdot (a-2b)}{a-b}=(a-b)(a-2b)\)

Ответ: \((a-b)(a-2b)\)

Упростите выражение: \(\frac{a}{x^{2}-3x}:\frac{a^{3}}{3x-9}\)

Решение №5849: \(\frac{a}{x^{2}-3x}:\frac{a^{3}}{3x-9}=frac{a}{x(x-3)} \cdot \frac{3(x-3)}{a^{3}}=\frac{a \cdot 3 \cdot (x-3)}{x(x-3)a^{3}}=\frac{3}{xa^{2}}\)

Ответ: \(\frac{3}{xa^{2}}\)

Упростите выражение: \(\frac{m^{3}-m^{2}}{y^{4}} \cdot \frac{y^{2}}{m^{2}-m}\)

Решение №5851: \(\frac{m^{3}-m^{2}}{y^{4}} \cdot \frac{y^{2}}{m^{2}-m}=frac{m^{2}(m-1) \cdot y^{2}}{y^{4} \cdot m(m-1)}=\frac{m}{y^{2}}\)

Ответ: \(\frac{m}{y^{2}}\)

Упростите выражение: \(\frac{4p-p^{2}}{y-x}:\frac{8p-2p^{2}}{x-y}\)

Решение №5853: \(\frac{4p-p^{2}}{y-x}:\frac{8p-2p^{2}}{x-y}=frac{p(4-p)}{y-x} \cdot \frac{x-y}{2p(4-p)}=\frac{p(4-p) \cdot (y-x)}{(y-x) \cdot 2p(4-p)}=-\frac{p}{2p}=-\frac{1}{2}\)

Ответ: \(-\frac{1}{2}\)

Упростите выражение: \(\frac{a-b}{2q-q^{2}} \cdot \frac{6q-2q^{2}}{b-a}\)

Решение №5854: \(\frac{a-b}{2q-q^{2}} \cdot \frac{6q-2q^{2}}{b-a}=-frac{(a-b) \cdot 1q(3-a)}{q(3-q)(a-b)}=-2\)

Ответ: \(-2\)

Упростите выражение: \(\frac{x+x^{3}}{n-n^{2}}:\frac{x^{2}+1}{n^{3}-n^{2}}\)

Решение №5856: \(\frac{x+x^{3}}{n-n^{2}}:\frac{x^{2}+1}{n^{3}-n^{2}}=frac{x(1+x^{2})}{n(1-n)} \cdot \frac{n^{2}(n-1)}{x^{2}+1}=-\frac{x(1+x^{2}) \cdot n^{2}(n-1)}{n(n-1)(1+x^{2})}=-xn\)

Ответ: \(-xn\)

Упростите выражение: \(\frac{c^{2}-49}{10cd}:\frac{2c+14}{5d}\)

Решение №5859: \(\frac{c^{2}-49}{10cd}:\frac{2c+14}{5d}=frac{(c-7)(c+7)}{10cd} \cdot \frac{5d}{2(c+7)}=\frac{(c-7)(c+7) \cdot 5d}{10cd \cdot 2(c+7)}=\frac{c-7}{4c}\)

Ответ: \(\frac{c-7}{4c}\)

Упростите выражение: \(\frac{b-d}{d} \cdot \frac{3bd}{b^{2}-d^{2}}\)

Решение №5860: \(\frac{b-d}{d} \cdot \frac{3bd}{b^{2}-d^{2}}=frac{(b-d) \cdot 3bd}{d(b-d)(b+d)}=\frac{3b}{b+d}\)

Ответ: \(\frac{3b}{b+d}\)

Упростите выражение: \(\frac{1}{a^{3}-b^{3}} \cdot (a^{2}-b^{2})\)

Решение №5865: \(\frac{1}{a^{3}-b^{3}} \cdot (a^{2}-b^{2})=frac{a^{2}-b^{2}}{a^{3}-b^{3}}=\frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}=\frac{a+b}{a^{2}+ab+b^{2}}\)

Ответ: \(\frac{a+b}{a^{2}+ab+b^{2}}\)

Упростите выражение: \((8a^{3}+1):\frac{4a^{2}-2a+1}{n}\)

Решение №5866: \((8a^{3}+1):\frac{4a^{2}-2a+1}{n}=(8a^{3}+1) \cdot frac{n}{4a^{2}-2a+1}=\frac{n \cdot (8a^{3}+1)}{4a^{2}-2a+1}=\frac{n(2a+1)(4a^{2}-2a+1)}{4a^{2}-2a+1}=n(2a+1)\)

Ответ: \(n(2a+1)\)

Упростите выражение: \(\frac{m^{3}-64}{2}:(m^{2}+4m+16)\)

Решение №5868: \(\frac{m^{3}-64}{2}:(m^{2}+4m+16)=frac{m^{3}-64}{3} \cdot \frac{1}{m^{2}+4m+16}=\frac{(m-4)(m^{2}+4m+16}{3(m^{2}+4m+16)}=\frac{m-4}{3}\)

Ответ: \(\frac{m-4}{3}\)

Упростите выражение: \(\frac{5m-10n}{m-5}:\frac{4n^{2}-4mn+m^{2}}{15-3m}\)

Решение №5872: \(\frac{5m-10n}{m-5}:\frac{4n^{2}-4mn+m^{2}}{15-3m}=frac{5(m-2n)}{m-5} \cdot \frac{3(5-m)}{(2n-m)^{2}}=\frac{5(2n-m) \cdot 3(5-m)}{(5-m) \cdot (2n-m)^{2}}=\frac{15}{2n-m}\)

Ответ: \(\frac{15}{2n-m}\)