Решение №3601: Может быть как ограниченной, так и неограниченной.

Ответ: NaN

Решение №3606: \( \lim_{n \to \propto}\frac{\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{n+1}}{\sqrt[4]{n+1}+\sqrt[4]{n}}=\lim_{n \to \propto}\frac{\left ( n-n-1 \right )\left ( \sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n} \right )\left ( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right )}{\left ( \sqrt[3]{n^{2}}+\sqrt[3]{n^{2}+n}+\sqrt[3]{\left ( n+1 \right )^{2}} \right )\left ( n+1-n \right )}=\lim_{n \to \propto}\frac{-n^{\frac{1}{4}}\left ( \sqrt[4]{1+\frac{1}{n}}-1 \right )n^{\frac{1}{2}}\left ( \sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1} \right ) }{n\frac{2}{3}\left ( \sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}} \right )}=0\)

Ответ: 0

Решение №3607: 1) Если \(a\neq 0, то \lim_{n \to \propto}\sqrt{an^{2}+bn+2}-n=\lim n \to \propto\frac{an^{2}+bn+2-n^{2}}{\sqrt{an^{2}+bn+2}+n}=\lim_{n \to \propto}\frac{\left ( a-1 \right )n^{2}+bn+2}{n\left ( \sqrt{a+\frac{b}{n}+\frac{2}{n^{2}}+1} \right )}=A\) Ясно, что если \(a=1\), то \(A=\frac{b}{2}\), еcли \(a> 1\), то \(A=+\propto \), и если \(a< 1, A=-\propto\) .Тогда \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=1 при b=2\) 2) Если a=0. Тогда при всех значениях b имеем \(\lim_{n \to \propto}\left ( \sqrt{bn+2}-n \right )=-\propto \)

Ответ: 1

Решение №3610: \( \lim_{n \to \propto} \sqrt[n]{a}=1\) при a> 0. Пусть \(\lim_{n \to \propto} \sqrt[n]{a}=A> 0\). Из определения предела следует, что, начиная с некоторого n,выполнено неравенство \(\frac{A}{2}< a_{n}< \frac{3A}{2}, откуда \sqrt[n]{\frac{A}{2}}< \sqrt[n]{a_{n}}< \sqrt[n]{\frac{3A}{2}}\). По теореме о сжатой последовательности получаем \(\lim_{n \to \propto} \sqrt[n]{a}=1 .\)

Ответ: NaN

Решение №3611: \(x_{n}=\left\{\begin{matrix}\left ( \frac{1}{2} \right )_{n}, n=2k \\ \left ( \frac{1}{3} \right )^{n}, n=2k-1 \end{matrix}\right. \)

Ответ: NaN

Решение №3621: Так как \(\forall n\in N x_{n+1}-x=\frac{1}{\left ( n+1 \right )^{n+1}}> 0\), то последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастает. Кроме того \(\forall n\in N x_{n}< 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}} \right )< \frac{3}{2}\). То есть последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) ограничена сверху.

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: x_{1}\in \left [ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right ]

Решение №3629: Выпишем несколько первых членов последовательности: \(x_{1}=-3; x_{2}=-1; x_{3}=-5; x_{4}=-\frac{1}{5}; x_{5}=-29; x_{6}=\frac{23}{29}; x_{7}=1+\frac{6*29}{23}\). Таким образом, процесс переходит в первую четверть \(\left ( x_{k}> 0 \right )\), а сначала хотелось сказать, что он расходится. Далее получим, что \(\forall n\geqslant 6\left ( x_{n}> 0 \right ) \)последовательность \(\left \{ x_{2n} \right \} \)возрастающая и ограничена сверху, а последовательность \(\left \{ x_{2n+1} \right \}\) убывающая и ограничена снизу \(\left ( n\geqslant 3 \right ), \lim_{n \to \propto} x_{n}=3. \)

Ответ: NaN

Решение №3631: Как обычно, мешает разрыв. Было бы хорошо сказать, что функция возрастает и последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастает. Но всё не так: \(x_{2}=\frac{1}{2}; x_{3}=-2; x_{4}=\frac{11}{2}; x_{5}=3\frac{5}{11}; x_{6}=3\frac{5}{38}\). При \(n\leqslant 4\) последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывает. Значение ппредела получается из уравнения \(a=4-\frac{3}{a}\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}a-3 \\ a=1 \end{matrix} \right \) Но \(\lim_{n \to \propto} x_{n} =3 \), и это, вообще говоря, надо доказать.

Ответ: NaN

Решение №3641: Приведённое неравенство равносильно тому, что последовательность\( \left \{ b_{n}-a_{n} \right \}\) возрастает. Будучи разностью двух ограниченных, эта последовательность ограничена, а тогда она сходится. Таким образом, поскольку \(b_{n}=a_{n}+\left ( b_{n}-a_{n} \right )\), то последовательность \(\left \{ b_{n} \right \}\) сходится как сумма двух сходящихся последовательностей.

Ответ: NaN