Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Проверить справедливость равенств \(\frac{11-6\sqrt{2}}{\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}}=3-\sqrt{2}\)

Решение №17109: \(\frac{11-6\sqrt{2}}{\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}}=3-\sqrt{2};\frac{9-6\sqrt{2}+2}{\sqrt[3]{27-27\sqrt{2}+18-2\sqrt{2}}}=\frac{\left ( 3-\sqrt{2} \right )^{2}}{\left ( 3-\sqrt{2} \right )}=3-\sqrt{2};3-\sqrt{2}=3-\sqrt{2} \)

Ответ: \(3-\sqrt{2}=3-\sqrt{2}\)

Число 19 представить в виде разности кубов натуральных чисел

Решение №17110: \(19=x^{3}-y^{3}=\left ( x-y \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2} \right )=n*m; m=x^{2}+xy+y^{2};\left ( y+1 \right )^{2}+y\left ( y+1 \right )+y^{2}=19;y^{2}+y-6=0;3^{3}-2^{3}\)

Ответ: \(3^{3}-2^{3}\)

Упростить выражение и вычислить \(\left ( \frac{x-9}{x+3x^{\frac{1}{2}}+9}:\frac{x^{0.5}+3}{x^{1.5}-27} \right )^{0.5}-x^{0.5}2\)

Решение №17111: \(\left ( \frac{x-9}{x+3x^{\frac{1}{2}}+9}:\frac{x^{0.5}+3}{x^{1.5}-27} \right )^{0.5}-x^{0.5}=\left ( \frac{x-9}{\sqrt{x}^{2}+3\sqrt{x}+9}:\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}^{2}-3^{3}} \right )^{0.5}-\sqrt{x}=\sqrt{\left ( \sqrt{x}-3 \right )^{2}}-\sqrt{x}=\left | \sqrt{x}-3 \right |-\sqrt{x}=3-2\sqrt{x};-3\)

Ответ: \(3-2\sqrt{x};-3\)

Исключив u и v из равенств u-v=a,u^{2}-v^{2}=b, u^{3}-v^{3}=c, найти соотношение между a,b,c

Решение №17112: \(u-v=a;u^{2}-v^{2}=b;u^{3}-v^{3}=c;=u-v=a;\left ( u-v \right )\left ( u+v \right )=b;\left ( u-v \right )\left ( \left ( u+v \right )^{2}-uv \right )=c;3b^{2}+a^{4}=4ac\)

Ответ: \(3b^{2}+a^{4}=4a\)

Упростить выражение \(\left ( \sqrt[4]{mn^{2}p}+m\sqrt{\frac{3n}{m}}+\sqrt{3np} \right )\left ( \sqrt[4]{36mn^{2}p}-\sqrt{3mn}-p\sqrt{\frac{3n}{p}} \right )\)

Решение №17113: \(\left ( \sqrt[4]{mn^{2}p}+m\sqrt{\frac{3n}{m}}+\sqrt{3np} \right )\left ( \sqrt[4]{36mn^{2}p}-\sqrt{3mn}-p\sqrt{\frac{3n}{p}} \right )=\left ( \sqrt[4]{36mn^{2}p}+\left ( \sqrt{3mn}+\sqrt{3np} \right ) \right )\left ( \sqrt[4]{36mn^{2}p}-\left ( \sqrt{3mn}+\sqrt{3np} \right ) \right )=\left ( \sqrt[4]{36mn^{2}p} \right )^{2}-\left ( \sqrt{3mn}+\sqrt{3np} \right )^{2}=\sqrt{36mn^{2}p}-3mn-2\sqrt{9mn^{2}p}-3np=-3n\left ( m+p \right )\)

Ответ: \(-3n\left ( m+p \right )\)

Упростить выражение и вычислить \(\left ( \frac{1}{\left ( x+3 \right )^{2}}\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{9} \right )+\frac{2}{\left ( x+3 \right )^{3}} \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{3} \right )\right )^{-\frac{1}{2}}\)

Решение №17114: \(\left ( \frac{1}{\left ( x+3 \right )^{2}}\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{9} \right )+\frac{2}{\left ( x+3 \right )^{3}} \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{3} \right )\right )^{-\frac{1}{2}}=\left ( \frac{x^{2}+9}{9x^{2}\left ( x+3 \right )^{2}}+\frac{2}{3x\left ( x+3 \right )^{2}} \right )^{-\frac{1}{2}}=\left ( \frac{\left ( x+3 \right )^{2}}{9x^{2}\left ( x+3 \right )^{2}} \right )^{-\frac{1}{2}}=\left ( \frac{1}{9x^{2}} \right )^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{9x^{2}}=3\left | x \right |=-3x;-3x\)

Ответ: \(-3x;-3x\)

Упростить выражение и вычислить \(\left ( x^{2}-6x+1+\left ( \frac{\frac{x-3}{1+3x}-\frac{x-5}{1+5x}}{1+\frac{\left ( x-5 \right )\left ( x-3 \right )}{\left ( 1+5x \right )\left ( 1+3x \right )}} \right )^{-1} \right )^{\frac{1}{2}}\)

Решение №17115: \(\left ( x^{2}-6x+1+\left ( \frac{\frac{x-3}{1+3x}-\frac{x-5}{1+5x}}{1+\frac{\left ( x-5 \right )\left ( x-3 \right )}{\left ( 1+5x \right )\left ( 1+3x \right )}} \right )^{-1} \right )^{\frac{1}{2}}=\left ( x^{2}-6x+1+\left ( \frac{\left ( x-3 \right )\left ( 1+5x \right )-\left ( x-5 \right )\left ( 1+3x \right )}{\left ( 1+5x \right )\left ( 1+3x \right )+\left ( x-5 \right )\left ( x-3 \right )} \right )^{-1} \right )^{\frac{1}{2}}=\left ( x^{2}-6x+1+\left ( \frac{2x^{2}+2}{16x^{2}+16} \right )^{-1} \right )^{\frac{1}{2}}=\left ( x^{2}-6x+1+\left ( \frac{1}{8} \right )^{-1} \right )^{\frac{1}{2}}=\left ( x^{2}-6x+1+8 \right )^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\left ( x-3 \right )^{2}}=\left | x-3 \right |=3-x;x-3\)

Ответ: \(3-x;x-3\)

Упростить выражение и вычислить \(\frac{1+\sqrt{1+x}}{x+1}+\frac{1+\sqrt{1-x}}{x-1}\)

Решение №17116: \(\frac{1+\sqrt{1+x}}{x+1}+\frac{1+\sqrt{1-x}}{x-1}=\frac{x+x\sqrt{1+x}-1-\sqrt{x+1}+x+x\sqrt{1-x}+1+\sqrt{1-x}}{x^{2}-1}=\frac{2x-\left ( 1-x \right )\sqrt{1+x}+\left ( 1+x \right )\sqrt{1-x}}{x^{2}-1}=\frac{\sqrt{3}-\left ( 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}+\left ( 1+\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}} \right )}{\frac{3}{4}-1}=-4\sqrt{3}+2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3+2+\sqrt{3}-2\sqrt{3}-3=-4\sqrt{3}-2\)

Ответ: \(-4\sqrt{3}-2\)

Упростить выражение \(\frac{\sqrt{\left ( 2p+1 \right )^{3}}+\sqrt{\left ( 2p-1 \right )^{3}}}{\sqrt{4p+2\sqrt{4p^{2}-1}}}\)

Решение №17117: \(\frac{\sqrt{\left ( 2p+1 \right )^{3}}+\sqrt{\left ( 2p-1 \right )^{3}}}{\sqrt{4p+2\sqrt{4p^{2}-1}}}=\frac{\left ( \sqrt{2p+1}+\sqrt{2p-1} \right )\left ( \left ( \sqrt{2p+1} \right )^{2}-\sqrt{2p+1}\sqrt{2p-1}+\left ( \sqrt{2p-1} \right )^{2}\right ) }{\sqrt{2p+1+2\sqrt{4p^{2}-1}}+2p-1}=\frac{\left ( \sqrt{2p+1}+\sqrt{2p-1} \right )\left ( 4p-\sqrt{4p^{2}-1} \right )}{\sqrt{\left ( \sqrt{2p+1}+\sqrt{2p-1} \right )^{2}}}=4p-\sqrt{4p^{2}-1}\)

Ответ: \(4p-\sqrt{4p^{2}-1}\)

Проверить справедливость равенств \(\frac{2\sqrt[3]{2}}{1+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt[3]{20+12\sqrt{3}}}{2+\sqrt{3}}\)

Решение №17118: \(\frac{2\sqrt[3]{2}}{1+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt[3]{20+12\sqrt{3}}}{2+\sqrt{3}};\left (\frac{2\sqrt[3]{2}}{1+\sqrt{3}} \right )^{3}=\left (\frac{\sqrt[3]{20+12\sqrt{3}}}{2+\sqrt{3}} \right )^{3};\frac{16}{10+6\sqrt{3}}=\frac{20+12\sqrt{3}}{26+15\sqrt{3}};\frac{2}{5+3\sqrt{3}}=\frac{5+3\sqrt{3}}{26+15\sqrt{3}};2\left ( 26+15\sqrt{3} \right )=\left ( 5+3\sqrt{3} \right )\left ( 5+3\sqrt{3} \right );52+30\sqrt{3}=25+30\sqrt{3}+27;52+30\sqrt{3}=52+30\sqrt{3}\)

Ответ: \(52+30\sqrt{3}=52+30\sqrt{3}\)