Решение №15984: Лучи \(ОА\) и \(ОВ\) лежат либо по одну сторону от прямой \(ОС\), либо по разные стороны.

Ответ: \(\frac{\alpha +\beta }{2}\) или \(\frac{\left | \alpha -\beta \right |}{2}\)

Решение №15985: Пусть \(\angle AOB = 2\alpha , \angle BOC = 2\beta , \angle COD = 2\gamma\) . По условию \(2\alpha +2\gamma =180^{\circ}\). На биссектрисах \(AOC\) \(BOD\) или на их продолжениях можно выбрать точки \(K\) и \(M\) так, что \(\angle KOC=\alpha +\beta и \angle BOM = \beta + \gamma\) . Поэтому \(\angle KOM = \angle KOC + \angle BOM - \angle BOC = \left ( \alpha +\beta \right )+\left ( \beta +\gamma \right )- 2\beta = \alpha +\gamma =90^{\circ}\).

Ответ: 90^{\circ}

Решение №15986: За 30 мин часовая стрелка позоо вернётся на \(15^{\circ}\). б) За 40 мин часовая стрелка повернётся на \(20^{\circ}\) .

Ответ: а) 105^{\circ}, б) 80^{\circ}

Решение №15987: В З часа стрелки часов образуют прямой угол. Минутная стрелка движется быстрее часовой.

Ответ: а) острый, б) тупой

Решение №15988: За час минутная стрелка возвращается в исходное положение, а часовая поворачивается на \(30^{\circ}\). В начальный момент угол между стрелками может либо увеличиваться, либо уменьшаться.

Ответ: 15^{\circ} или 165^{\circ}

Решение №15989: За полчаса минутная стрелка поворачивается на \(180^{\circ} \), а часовая на \(15^{\circ}\) . В начальный момент угол между стрелками может либо увеличиваться, либо уменьшаться.

Ответ: 82,5^{\circ} или 97,5^{\circ}

Решение №15990: За 12 часов минутная стрелка совершает 12 оборотов, а часовая один оборот, поэтому минутная стрелка обгоняет часовую 11 раз. Следовательно, моменты совпадения стрелок разбивают время от полуночи до полудня (и от полудня до полуночи) на 11 равных отрезков. На каждом таком отрезке стрелки два раза перпендикулярны (когда минутная стрелка впереди и когда позади часовой на \(90^{\circ}\) ).

Ответ: 44 раза.

Решение №15991: \(20^{\circ}=180^{\circ}-4*40^{\circ}\)

Ответ: NaN

Решение №15992: \(40^{\circ}=180^{\circ}-2*70^{\circ}\)

Ответ: NaN

Решение №15993: \(1^{\circ}=19*19^{\circ}-360^{\circ}\)

Ответ: NaN