Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15853: Имеем \( \left ( \frac{3}{5} \right )^{x}\left ( \frac{25}{9} \right )^{-2x^{2}+24}=\left ( \frac{3}{5} \right )^{-2x^{2}+x+24}=\left ( \frac{3}{5} \right )^{9}, -2x^{2}+x+24=9, 2x^{2}-x-15= 0 \), откуда \( x_{1}=-\frac{5}{2}, x_{2}=3 \)
Ответ: \( -\frac{5}{2}, 3 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15854: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x\neq 1 & & \\ x\neq \frac{7}{3} & & \end{matrix}\right.\) Перепишем уравнение в виде \( 2^{\frac{3x-9}{3x-7}}*2^{-\frac{3x-1}{3x-3}}=2^{0}, 2^{\frac{3x-9}{3x-7}-\frac{3x-1}{3x-3}}=2^{0} \), откуда \( \frac{3x-9}{3x-7}-\frac{3x-1}{3x-3}=0\Rightarrow x=\frac{5}{3} \)
Ответ: \( \frac{5}{3} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15855: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 1-x> 0, & & \\ 1-x\neq 1, 0\neq x< 1 & & \end{matrix}\right \) Из условия \( \log _{1-x}\frac{3}{2}=0.5\Leftrightarrow \frac{3}{2}=\sqrt{1-x}\Rightarrow \frac{9}{4}=1-x \), откуда \( x=-\frac{5}{4} \)
Ответ: \( -\frac{5}{4} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15856: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Из условия \( 5^{\frac{1}{x-\sqrt{x}}}*5^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}=5^{\frac{2}{3}}, 5^{\frac{1}{x-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}}=5^{ \frac{ 2}{ 3}} \) Отсюда \( \frac{1}{x-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{2}{3}, 2\left ( \sqrt{x} \right )^{2}+\sqrt{x}-6=0 \) Решив это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{x} \), Найдем \( \sqrt{x}=-2, \varnothing \); или \( \sqrt{ x}= \frac{ 3}{ 2} \), откуда \( x= \frac{9}{ 4} \)
Ответ: \( \frac{9}{4} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15857: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя второе уравнение системы по основанию 4, имеем \( \log _{4}x^{y}, \log _{4}4^{6}. y\log _{4}x=6 \) Отсюда \( \left\{\begin{matrix} y=1+\log _{4}x, & & \\ y\log _{4}x=6 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left ( 1+\log _{4}x \right \)log _{4}x=6, \log _{4}^{2}x+\log _{4}x-6=0 \), откуда, решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{4}x \), найдем \( \left ( \log _{4}x \right )_{1}=-3, \left ( \log _{4}x \right )_{2}=2, x_{1}=\frac{1}{64}, x_{2}=16 \) Тогда \( y_{1}=-2, y_{2}=3\)
Ответ: \( \left ( \frac{1}{64}; -2 \right ), \left ( 16; 3 \right ) )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15858: \( \log _{2}2x^{2}+\log _{2}x*x^{\log _{x}\left ( \log _{2}x+1 \right )}+\frac{1}{2}\log _{4}^{2}x^{4}+2^{-3\log _{1/2}\log _{2}x}=\log _{2}2+\log _{2}x^{2}+\log _{2}x*\left ( \log _{2}x+1 \right )+2\log _{2}^{2}x+2^{\log _{2}\log _{2}^{3}x}=1+2\log _{2}x+\log _{2}^{2}x+\log _{2}x+2\log _{2}^{2}x+\log _{2}^{3}x=\log _{2}^{3}x+3\log _{2}^{2}x+3\log _{2}x+1=\left ( \log _{2}x+1 \right )^{3} \)
Ответ: \( \left ( \log _{2}x+1 \right )^{3} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15859: ОДЗ: \( 0< \sin x< 1 \) Так как \( 1-\cos 2x=2\sin ^{2}x \), то имеем \( 3\log _{2}^{2}\sin x+\log _{2}2\sin ^{2}x-2=0 \Leftrightarrow 3\log _{2}^{2}\sin x+2\log _{2}\sin x-1=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{2}\sin x \), получим \( \log _{2}\sin x=\frac{1}{3} \), или \( \log _{2}\sin x=-1 \), откуда \( \sin x=\sqrt[3]{2} \) (нет решений), или \( \sin x=\sqrt[1]{2} \) Тогда \( x=\left ( -1 \right )^{n}\frac{\pi }{6}+\pi n, n\epsilon Z \)
Ответ: \( \left ( -1 \right )^{n}\frac{\pi }{6}+\pi n )\, \( n\epsilon Z )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15860: Разделив второе уравнение заданной системы на первое, получим \( \frac{3^{x}*4^{y}}{2^{x}*3^{y}}=\frac{12}{6}, \frac{3^{x-y}}{2^{x-2y}}=2, 3^{x-y}=2^{1+x-2y} \) Это равенство возможно, когда \( \left\{\begin{matrix} x-y=0, & & \\ 1+x-2y=0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow x=y, 1+y-2y=0, y=1 \) Тогда \( x=y=1 \)
Ответ: \( \left ( 1; 1 \right ) )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15861: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0 & & \\ y+x\neq 0 & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы \( 3^{y+2x}=3^{4}, y+2x=4, y=4-2x \) Из второго уравнения системы \( \lg \frac{\left ( y+x \right )^{2}}{x}=\lg 9 \), откуда \( \frac{\left ( y+x \right )^{2}}{x}=9 \) Тогда исходная система приобретает вид \( \left\{\begin{matrix} y=4-2x & & \\ \left ( y+x \right )^{2}=9x & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x^{2}-17x+16=0 \), откуда \( x_{1}=1, x_{2}=16 \) Тогда \( y_{1}=2, y_{2}=-28 \)
Ответ: \( \left ( 1; 2 \right ), \left ( 16; -28 \right ) )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15862: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & \\ y> 0. & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( \left\{\begin{matrix} xy=36, & & \\ x+y=20, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( \left\{\begin{matrix} x_{1}=2, & & \\ y_{1}=18; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=18, & & \\ y_{2}=2. & & \end{matrix}\right.
Ответ: \( \left ( 2; 18 \right ),\left ( 18; 2 \right ) )\