Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Решить уравнения: \( \frac{\lg \left ( 2x-19 \right )-\lg \left ( 3x-20 \right )}{\lg x}=-1 \)

Решение №15762: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2x-19> 0 & & \\ 3x-20> 0 & & \end{matrix}\right.x> \frac{19}{2}\) Из условия \( \lg \left ( 2x-19 \right )-\lg \left ( 3x-20 \right )=-\lg x, \lg \left ( 2x-19 \right )+\lg x=\lg \left ( 3x-20 \right ), x\left ( 2x-19 \right )=3x+20, x^{2}-11x+10=0 \) Отсюда \( x_{1}=10, x_{2}=1; x_{2}=1\) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 10

Решить уравнения: \( \left ( \left ( \sqrt[5]{27} \right )^{\frac{x}{4}-\sqrt{\frac{x}{3}}} \right )^{\frac{x}{4}+\sqrt{\frac{x}{3}}}=\sqrt[4]{3^{7}} \)

Решение №15763: ОДЗ: \( x\geq 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 3^{\frac{3}{5}\left ( \frac{x}{4}-\sqrt{\frac{x}{3}} \right \)left ( \frac{x}{4}+\sqrt{\frac{x}{3}} \right )}=3^{\frac{7}{4}} \) Тогда \( \frac{3}{5}\left ( \frac{x}{4}-\sqrt{\frac{x}{3}} \right \)left ( \frac{x}{4}+\sqrt{\frac{x}{3}} \right )=\frac{7}{4}, 3x^{2}-16x-140=0 \), откуда \( x_{1}=10, x_{2}=-\frac{14}{3}; x_{2}=-\frac{14}{3} \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 10

Решить уравнения: \( \log _{5}\sqrt{x-9}-\log _{5}10+\log _{5}\sqrt{2x-1}=0 \)

Решение №15764: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-9> 0 & & \\ 2x-1> 0, x> 9 & & \end{matrix}\right \) Из условия \( \log _{5}\frac{\sqrt{\left ( x-9 \right \)left ( 2x-1 \right )}}{10}=0\Leftrightarrow \frac{\sqrt{\left ( x-9 \right \)left ( 2x-1 \right )}}{10}=1\Leftrightarrow \sqrt{\left ( x-9 \right \)left ( 2x-1 \right )}=10 \Rightarrow \left ( x-9 \right \)left ( 2x-1 \right ) =100 \), откуда \( 2x^{2}-19x-91=0, x_{1}=13, x_{2}=-\frac{7}{2}; x_{2}=-\frac{7}{2} \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 13

Решить уравнения: \( \log _{4}\log _{2}x+\log _{4}\log _{2}x=2 \)

Решение №15765: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} \log _{2}x> 0, & & \\ \log _{4}x> 0, & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x> 1 \) Перейдем к основанию 2. Имеем \( \frac{1}{2}\log _{2}\log _{2}x+\log _{2}\left ( \frac{1}{2}\log _{2}x \right )=2 \Leftrightarrow \log _{2}\log _{2}x+2\log _{2}\left ( \frac{1}{2}\log _{2}x \right )=4 \Leftrightarrow \log _{2}\log _{2}x+\log _{2}\left ( \frac{1}{4}\log _{2}^{2}x \right )=4 \Leftrightarrow \log _{2}\left ( \log _{2}x*\frac{1}{4}\log _{2}^{2}x \right )=4 \Leftrightarrow \frac{1}{4}\log _{2}^{3}x=16, \log _{2}^{3}x=64 \) Тогда \( \log _{2}x=4, x=2^{4}=16 \)

Ответ: 16

Решить уравнения: \( 3\lg 2+\lg \left (2^{\sqrt{x-1}-1}-1 \right )=\lg \left ( 0.4\sqrt{2}^{\sqrt{x-1}}+4 \right )+1 \)

Решение №15766: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2^{\sqrt{x-1}-1}-1> 0 & & \\ x-1\geq 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x> 2 \) Перепишем уравнение в виде \( \lg 8+\lg \left ( 2^{\sqrt{x-1}-1}-1 \right )=\lg \left ( 0.4\sqrt{2}^{\sqrt{x-1}}+4 \right )+\lg 10 \Leftrightarrow \lg \left ( 8*\left ( 2^{\sqrt{x-1}-1}-1 \right ) \right )=\lg \left ( 4\sqrt{2}^{\sqrt{x-1}}+40 \right ) \Leftrightarrow 8\left ( 2^{\sqrt{x-1}-1}-1 \right )=4\left ( \sqrt{2}^{\sqrt{x-1}}+10 \right ) \Leftrightarrow \left ( 2^{\frac{\sqrt{x-1}}{2}} \right )^{2}-2^{\frac{\sqrt{x-1}}{2}}-12=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\frac{\sqrt{x-1}}{2}} \), получим \( 2^{\frac{\sqrt{x-1}}{2}}=-3 \), (нет решений), или \( 2^{\frac{\sqrt{x-1}}{2}}=2^{2} \), откуда \( \frac{\sqrt{x-1}}{2}=2 , \sqrt{x-1}=4, x-1=16, x=17 \)

Ответ: 17

Решить уравнения: \( \left ( \sqrt[5]{3} \right )^{x}+\left ( \sqrt[10]{3} \right )^{x-10}=84 \)

Решение №15767: Перепишем уравнение в виде \( \left ( \sqrt[10]{3} \right )^{2x}+\frac{\left ( \sqrt[10]{3} \right )^{x}}{3}-84=0, 3*\left ( \sqrt[10]{3} \right )^{2x}+\left ( \sqrt[10]{3} \right )^{x}-252=0 \) Решая уравнение как квадратное относительно \( \left ( \sqrt[10]{3} \right )^{x} \), получим \( \left ( \sqrt[10]{3} \right )^{x}=-\frac{23}{3}, \varnothing \); или \( \left ( \sqrt[10]{3} \right )^{x}=9, 3\frac{x}{10}=3^{2} \), откуда \( \frac{x}{10}=2, x=20 \)

Ответ: 20

Решить уравнения: \( \sqrt{2}*0.5^{\frac{5}{4\sqrt{x}+10}}-16^{\frac{1}{2\sqrt{x}+1}}=0 \)

Решение №15768: ОДЗ: \( x\geq 0 \) Из условия \( 2^{\frac{1}{2}}*2^{\frac{5}{4\sqrt{x}+10}}=2^{\frac{2}{\sqrt{x}+1}}, 2^{\frac{1}{2}-\frac{5}{4\sqrt{x}+10}}= 2^{ \frac{ 2}{ \sqrt{ x} +1}} \), откуда \( \frac{1}{2}-\frac{5}{4\sqrt{x}+10}= \frac{2}{\sqrt{x}+1} \Rightarrow \left ( \sqrt{x} \right )^{2}-3\sqrt{x}-10= 0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{x} \), найдем \( \sqrt{x}=-2, \varnothing \); или \( \sqrt{ x} = 5 \), откуда \( x=25 \)

Ответ: 25

Решить уравнения: \( \sqrt{\log _{0.04}x+1}+\sqrt{\log _{0.2}x+3}=1 \)

Решение №15769: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\log _{0.2}x+1\geq 0, & & & \\ \log _{0.2}+3\geq 0 & & & \\ x> 0 & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 0< x\leq 25 \) Перейдем к основанию 0,2. Имеем \( \sqrt{\frac{1}{2}\log _{0.2}x+1}+\sqrt{\log _{0.2}x+3}=1\Leftrightarrow \sqrt{\log _{0.2}x+2}+\sqrt{\log _{0.2}x+6}=\sqrt{2} \) Возведя обе части уравнения в квадрат, получим \( \log _{0.2}x+2+2\sqrt{\left ( \log _{0.2}x+2 \right \)left ( 2\log _{0.2}x+6 \right )}+2\log _{0.2}x+6=2\Leftrightarrow 2\sqrt{\left ( \log _{0.2}x+2 \right \)left ( 2\log _{0.2}x+6 \right )}=-3\log _{0.2}x-6\Rightarrow 4\left ( \log _{0.2}x+2 \right \)left ( 2\log _{0.2}x+6 \right )=9\left ( \log _{0.2}x+2 \right )^{2} , -3\log _{0.2}x-6\geq 0\Leftrightarrow \log _{0.2}x+2\leq 0 \) С учетом ОДЗ имеем \( \log _{0.2}x+2=0 \), откуда \( x=25 \)

Ответ: 25

Решить уравнения: \( \left ( 3*\left ( 3^{\sqrt{x}+3} \right )^{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \right )^{\frac{2}{\sqrt{x}-1}}=\frac{3}{\sqrt[10]{3}} \)

Решение №15770: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Из условия \( 3^{\frac{3\left ( \sqrt{x}+1 \right )}{2\sqrt{x}}*\frac{2}{\sqrt{x}-1}}=3^{\frac{9}{10}} \Leftrightarrow \frac{3\left ( \sqrt{x}+1 \right )}{2\sqrt{x}}*\frac{2}{\sqrt{x}-1}=\frac{9}{10} \Leftrightarrow 3x-13\sqrt{x}-10=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{x} \), получим \( \left ( \sqrt{x} \right )_{1}=-\frac{2}{3} \) (не подходит), или \( \left ( \sqrt{x} \right )_{2}=5 \) Тогда \( x=25 \)

Ответ: 25

Решить уравнения: \( \frac{\lg 8-\lg \left ( x-5 \right )}{\lg \sqrt{x+7}-\lg 2}=-1 \)

Решение №15771: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-5> 0 & & & \\ x+7> 0 & & & \\ \sqrt{x+7}\neq 2 & & & \end{matrix}\right. x> 5 \) Из условия \( \lg 8-\lg \left ( x-5 \right )=\lg 2-\lg \sqrt{x+7}, \lg \frac{8}{x-5}=\lg \frac{2}{\sqrt{x+7}}, \frac{8}{x-5}=\frac{2}{\sqrt{x+7}}, 4\sqrt{x+7}=x-5, 16x+112=x^{2}-10x+25, x> 5 \) Имеем \( x^{2} - 26x - 87 = 0 \), откуда \( x_{1}=29, x_{2}=-3; x_{2}=- 3 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 29