Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Решить уравнения: \( 4^{x}-10*2^{x-1}-24= 0 \)

Решение №15732: Из условия \( 2^{2x}-5*2^{x}-24= 0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), получим \( 2^{x}=-3, \varnothing \); или \( 2^{x}=8 \), откуда \( x=3 \)

Ответ: 3

Решить уравнения: \( \frac{2x+10}{4}=\frac{9}{2^{x-2}} \)

Решение №15733: Из условия \( \frac{2x+10}{4}=\frac{9}{2^{x}*2^{-2}}, \frac{2x+10}{4}=\frac{36}{2^{x}}, 2^{2x}+10*2^{x}-144=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), найдем \( 2^{x}=-18, \varnothing \), или \( 2^{x}=8 \), откуда \( x=3 \)

Ответ: 3

Решить уравнения: \( \log _{12}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )=3x-3\log _{12}27 \)

Решение №15734: ОДЗ: \( 4^{3x}+3x-9> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( \log _{12}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )+\log _{12}27^{x}=3x \Rightarrow \log _{12}27^{x}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )=3x \), откуда \( 27^{x}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )=12^{3x} \Leftrightarrow 4^{3x}+3x-9=4^{3x}, 3x-9=0, x=3 \)

Ответ: 3

Решить уравнения: \( 49^{1+\sqrt{x-2}}-344*7^{\sqrt{x-2}}=-7 \)

Решение №15735: ОДЗ: \( x\geq 2 \) Перепишем уравнение в виде \( 49*7^{2\sqrt{x-2}}-344*7^{\sqrt{x-2}}+7=0 \), Решая его как квадратное относительно \( 7^{\sqrt{x-2}} \), получим \( \left ( 7^{\sqrt{x-2}} \right )_{1}=7^{-2} \), или \( \left ( 7^{\sqrt{x-2}} \right )_{2}=7 \), откуда \( \left ( \sqrt{x-2} \right )_{1}=-2 \), (нет решений), или \( \left ( \sqrt{x-2} \right )_{2}=1, x_{2}=3 \)

Ответ: 3

Решить уравнения: \( 5^{x}*\sqrt[x]{8^{x-1}}=500 \)

Решение №15736: Перепишем уравнение в виде \( 5^{x}*8^{x-1}=500 \Leftrightarrow \frac{5^{x}*8}{8^{1/x}}=500 \Leftrightarrow \frac{5^{x}*2}{8^{1/x}}=125 \Leftrightarrow 5^{x-3}=2^{3/x-1} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-3=0, & & \\ \frac{3}{x}-1=0, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x=3 \)

Ответ: 3

Решить уравнения: \( \log _{1+x}\left ( 2x^{3}+2x^{2}-3x+1 \right )=3 \)

Решение №15737: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2x^{3}+2x^{2}-3x+1 & & \\ -1< x\neq 0 & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( 2x^{3}+2x^{2}-3x+1=\left ( 1+x \right )^{3}\Leftrightarrow 2x^{3}+2x^{2}-3x+1=1+3x+3x^{2}+x^{3} \Leftrightarrow x^{3}+x^{2}-6x=0 \Leftrightarrow x\left ( x^{2}-x-6 \right )=0 \), откуда \( x_{1}=0, x_{2}=-2, x_{3}=3; x_{1}=0, x_{2}=-2 не подходят по ОДЗ.

Ответ: 3

Решить уравнения: \( 2^{\frac{1}{\sqrt{x}-1}}*0.5^{\frac{1}{\sqrt{x}-1}}=4^{\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}} \)

Решение №15738: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Имеем \( 2^{\frac{1}{\sqrt{x}-1}}*2^{-\frac{1}{\sqrt{x}+1}}=2^{\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}}, 2^{\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}}= 2^{\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}} \) Тогда \( \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}, x-\sqrt{x}-2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{x} \), найдем \( \sqrt{x}=-1,\varnothing \), или \( \sqrt{ x}= 2 \), откуда имеем \( x=4 \)

Ответ: 4

\( 2^{x-1}+2^{x-4}+2^{x-2}=6.5+3.25+1.625+… \) (выражение в правой части - бесконечная геометрическая прогрессия).

Решение №15739: В правой части - сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( S \), где \( b_{1}=6.5; q=\frac{3.25}{6.5}=0.5 \Rightarrow S=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{6.5}{1-0.5}=13 \) Перепишем уравнение в виде \( \frac{2^{x}}{2}+\frac{2^{x}}{16}\frac{2^{x}}{4}=13 \Leftrightarrow \frac{13}{16}*2^{x}=13 , 2^{x}=16 \), откуда \( x=4 \)

Ответ: 4

Решить уравнения: \( \frac{\log _{4\sqrt{x}}2}{\log _{2x}2}+\log _{2x}2*2\log _{1/2}2x=0 \)

Решение №15740: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & & & \\ x\neq \frac{1}{16} & & & & \\ x\neq \frac{1}{16} & & & & \\ x\neq 1 & & & & \end{matrix}\right. Переходим к основанию 2. Имеем \( \frac{\frac{\log _{2}2}{\log _{2}4\sqrt{x}}}{\frac{\log _{2}2}{\log _{2}2x}}+\frac{\log _{2}2}{\log _{2}2x}*\frac{\log _{2}2x}{\log _{2}\frac{1}{2}}=0 \Leftrightarrow \frac{1+\log _{2}x}{2+\frac{1}{2}\log _{2}2}-1=0 \), откуда \( \log _{2}x=2 , x=4 \)

Ответ: 4

Вычислить сумму \( 2^{x} + 2^{-x} \) ,если \( 4^{x} + 4^{-x}=23 \)

Решение №15741: \( 2^{x} + 2^{-x}=\sqrt{\left ( 2^{x} + 2^{-x} \right )^{2}}=\sqrt{4^{x} + 4^{-x}+2}= \sqrt{ 23 +2}= \sqrt{ 25} = 5 \)

Ответ: 5