Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Докажите, что\( \forall n\in N: \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}> ^{1-\frac{1}{n}} \)

Решение №13824: При всех натуральных n выполнено \(\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n+1}> e\), откуда, возводя обе части неравенства в степень \(\frac{n}{n+1}\) , получаем \(\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}> e^{1-\frac{1}{n+1}}\) которое влечёт требуемое неравенство, так как \(1-\frac{1}{n+1}> 1-\frac{1}{n}\)

Ответ: NaN

От противного докажите, что е - иррациональное число.

Решение №13828: Пусть \(e=\frac{p}{q} \), где p и q - натуральные числа. Тогда $$\frac{p}{q}=1+1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{q!}+\frac{a_{q}}{q!q}, 0< a_{q}\leqslant 1$$ Умножив обе части этого неравенства на \(q!\) Получаем $$p=2q!+\frac{q!}{2!}+...+1+\frac{a_{q}}{q}$$ В левой части этого равенства стоит натуральное число. В правой части равенства все слагаемые, кроме последнего, являются натуральными числами, а последнее слагаемое целым не является. Полученное противоречие доказывает утверждение задачи. Кстати, из доказанного утверждения следует, что в использованном представлении числа e для всех натуральных n выполнено строгое неравенство \(a_{n}< 1\). В противном случае получилось бы, что \(e\) — рациональное число.

Ответ: NaN

Найдите \( \lim_{n \to \propto}\sin \left ( 2\pi en! \right ) \)

Решение №13829: \( n!e=m_{n}+\frac{a_{n}}{n}, 0< a_{n}\leqslant 1\), где\( m_{n} - некоторое целое число. Тогда \(\sin \left ( 2\pi n!e \right )=\sin \left ( 2\pi m_{n} +\frac{2\pi a_{n}}{n}\right )=\sin \left ( \frac{2\pi a_{n}}{n} \right )\) Очевидно, что \(\lim_{n \to \propto}\sin \left ( \frac{2\pi a_{n}}{n} \right )=0 \)

Ответ: NaN