Решение №13663: Не является монотонной. Общий член последовательности может быть записан в виде \(x_{n}=\left\{\begin{matrix}6k, n=3k \\ 2k-1, n=2k-1 \end{matrix}\right. \)

Ответ: NaN

Решение №13665: \( \frac{1}{n^{3}}< \varepsilon \Leftrightarrow n^{3}> \frac{1}{\varepsilon }\Leftrightarrow n> \sqrt[3]{\frac{1}{\varepsilon }}\), т.е. \(n\geqslant \left [ \sqrt[3]{\frac{1}{\varepsilon }} \right ]+1\). \(Если \varepsilon =\frac{1}{10}\), то\( n\geqslant \left [ \sqrt[3]{10} \right ]+1=3 \)

Ответ: NaN

Решение №13666: \( \frac{1}{n+1}< \varepsilon \Leftrightarrow n+1> \frac{1}{\varepsilon }\Leftrightarrow n> \frac{1}{\varepsilon }-1\), т.е. \(n\geqslant \left [ \frac{1}{\varepsilon } -1\right ]+1 \)

Ответ: NaN

Решение №13667: \( \lim n \to \frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon }\in N: \forall n\geqslant N_{\varepsilon }\left | \frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2} \right |< \varepsilon\) . Рассмотрим неравенство \(\left | \frac{n}{2n+1} -\frac{1}{2}\right |< \varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{4n+2}< \varepsilon \Leftrightarrow n> \frac{1}{4\varepsilon }-\frac{1}{2}\), т.е. в качестве \(N_{\varepsilon }\) можно взять \( N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{4\varepsilon }-\frac{1}{2} \right ]+1. \)

Ответ: NaN

Решение №13669: Так как \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}< \frac{1}{n}< \varepsilon\) , то в качестве \(N_{\varepsilon }\) можно взять \(N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\varepsilon } \right ]+1\). То есть мы доказали, что \(\lim_{n \to \propto} \frac{1}{3^{n}}=0 \)

Ответ: NaN

Решение №13670: Докажем, что \( \lim_{n \to \propto} \left ( -\frac{2}{5} \right )^{n}=0\). Тогда должно выполняться \(\left | \left ( -\frac{2}{5} \right )^{n} \right |=\left | \left ( -1 \right )^{n}\left ( \frac{2}{5} \right )^{n} \right |=\left ( \frac{2}{5} \right )^{n}< \varepsilon\). Взяв \(N_{\varepsilon }=\left [ \log _{\frac{5}{2}}\frac{1}{3} \right ]+1\), получим, что неравенство \(\left ( \frac{2}{5} \right )^{n}< \varepsilon\) выполнено для всех \(n> N_{\varepsilon }. \)

Ответ: NaN

Решение №13673: \( x_{n}=n^{2}; y_{n}=n^{3} \)

Ответ: NaN

Решение №13674: 1

Ответ: 1

Решение №13675: 1. При n> 6 выполнено неравенство \(n^{2}-5n-7> 0\), откуда при n> 6 будет выполняться \(x_{n}=1\)

Ответ: 1

Решение №13677: Сходимость последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \)означает существование какого-либо ее предела. Значит, отрицание утврждения "последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) "сходится" выглядит так: \(\forall a\exists \varepsilon > 0:\forall N_{\varepsilon }\in N \exists n\geqslant N_{\varepsilon }:\left | x_{n}-a \right |\geqslant \varepsilon \)

Ответ: NaN