Решение №13644: Последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) ограничена.

Ответ: NaN

Решение №13647: Последовательность \(\left \{ y_{n} \right \} \) обязательно ограничена. По одному из определений ограниченности последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) является ограниченной, если \(\exists M> 0:\forall n\in N \left | x_{n} \right |\leqslant M\). Но тогда \(\forall n\in N \left | y_{n} \right |\leqslant M\), поскольку \(\left | y_{n} \right |=\left \| x_{n} \right \|=\left | x_{n} \right |\)

Ответ: NaN

Решение №13649: Обязательно органичена. Результат не зависит от ограниченности последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\), поскольку значения косинуса любого числа по модулю не превосходят 1.

Ответ: NaN

Решение №13650: Необязательно ограничена. Например, для \(x_{n}=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{n}\) последовательность \(\tan x_{n}\) будет неограниченной. Доказать это удобнее всего, решив неравенство \(\tan x> M\) и убедившись, что при любом значении M в множество решений этого неравенства попадают члены последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\)

Ответ: NaN

Решение №13653: Так как последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) ограничены, существуют такие числа A и B, что \(\forall n\in N \left ( \left | x_{n} \right |\leqslant A \right )\wedge \left ( \left | y_{n} \right |\leqslant B \right ) \) Неравенства \(\left | x_{n}+y_{n} \right |\leqslant \left | x_{n} \right |+\left | y_{n} \right |\leqslant A+B\) показывают, что последовательность \(z_{n}=x_{n}+y_{n}\) обязательно ограничена.

Ответ: NaN

Решение №13655: Так как последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) ограничены, существуют такие числа A и B, что \(\forall n\in N \left ( \left | x_{n} \right |\leqslant A \right )\wedge \left ( \left | y_{n} \right |\leqslant B \right ) \) Неравенства \(\left | x_{n}*y_{n} \right |\leqslant \left | x_{n} \right |*\left | y_{n} \right |\leqslant A+B\) показывают, что последовательность \(z_{n}=x_{n}+y_{n}\) обязательно ограничена.

Ответ: NaN

Решение №13657: Так как последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) ограничены, существуют такие числа A и B, что \( \forall n\in N \left ( \left | x_{n} \right |\leqslant A \right )\wedge \left ( \left | y_{n} \right |\leqslant B \right ) \) Пусть \(x_{n}=\sqrt[n]{2}, y_{n}=1. Тогда z_{n}=n\) - неограниченная последовательность.

Ответ: NaN

Решение №13658: Рассмотрим функцию \(f\left ( x \right )=-x^{2}-n+1=\left ( n-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{3}{4} \left \). Она возрастает на множестве натуральных чисел, значит, последовательность \(\{ x_{n} \right \}\) возрастающая.

Ответ: NaN

Решение №13660: Последовательность с общим членом \(x_{n}=\frac{4n+3}{2n+1}=2+\frac{1}{2n+1} \) убывающая, так как \(f\left ( x \right )=2+\frac{1}{2x+1}\) убывает на \(\left [ -1;+\propto \right ) \)

Ответ: NaN

Решение №13661: Последовательность с общим членом \(\x_{n}=\frac{2n}{n^{2}+1}=\frac{2}{n+\frac{1}{n}}\) убывает, так как функция\( f\left ( x \right )=x+\frac{1}{x}\) возрастает и положительна на \(\left [ 1;+\propto \right ) \)

Ответ: NaN