Решение №7358: Рассмотрим функцию \(f\left ( x \right )=-x^{2}+3x+4\). Абцисса вершины параболы \(x_{0}=\frac{3}{2}> 1\), следовательно, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывающая, начиная с n=2. При этом \(x_{1}=x_{2}=6\), поэтому можно утверждать, что последовательность убывает на множетве N, но нестрого.

Ответ: NaN

Решение №7363: Последовательность с общим членом \(x_{n}=1+\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}\) убывает, так как убывает функция \(f\left ( x \right )=\left ( \frac{1}{3} \right )^{x} \)

Ответ: NaN

Решение №7370: Докажем, что \(\lim n \to \frac{\sin n}{n}=0\). Заметим, что \(\left | \frac{\sin n}{n} \right |\leqslant \frac{1}{n}\). Тогда, взяв \(N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\varepsilon } \right ]+1\), получим, что неравенство \(\left | \frac{\sin n}{n} \right |< \varepsilon выполнено для всех n> N_{\varepsilon } \)

Ответ: NaN

Решение №7377: а) \(x_{n}=-n б) x_{n}=0\). Предел не может быть равен 1. Множеством взможных пределов последовательноти \(\left \{ x_{n} \right \} \)является луч \(\left ( -\propto ;0 \right ]\). 1) Допустим, что предел последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) равен 1, тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists k\in N: \forall n\geqslant k 1-\varepsilon < x_{n}< \varepsilon +1\). В силу произвольного выбор \(\varepsilon\) возьмем \(\varepsilon _{1}=1-\varepsilon > 0\) и тогда, начиная с некоторого нормера, \(x_{n}> \varepsilon _{1}\). Получили противоречие, значит,наше предположение было неверным. 2) Действительно, любое неположительное число a является пределом последовательности, каждый член которой равен a, удовлетворяющей условию задачи. Кроме того, рассуждение, повторяющее пункт 1 с заменой 1 на произвольное положительное число, показывает, что никакое положительное число не может быть пределом последовательности, удовлетворяющей условию задачи.

Ответ: NaN

Решение №7380: Пусть \(\left \{ a_{n} \right \}\)- последовательность вида 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 0; 1; ... . Тогда последовательность \(\left \{ n^{2}a_{n}a_{n+1} \right \}\) состоит из одних нулей и сходится, а последовательноть \(\left \{ n^{2}a_{n}a_{n+3} \right \}\) будет иметь вид 0; 0; 9; 0; 0; 36; ... ,т.е. расходится.

Ответ: Необязательно сходится

Решение №7394: \( x_{n}=\sqrt{n^{2}+n}; y_{n}=-n\)

Ответ: NaN

Решение №7396: \( x_{n}=\left ( -1 \right )^{n}; y_{n}=n\)

Ответ: NaN

Решение №7405: \( x_{n}=\frac{1}{n+1}, y_{n}=\frac{1}{n} \)

Ответ: NaN

Решение №7418: Пусть \(\sqrt{x_{n}}=\sqrt{a}+\alpha _{n}\). Заметим, что \(\alpha =\sqrt{x_{n}}-\sqrt{a}=\frac{x_{n}-a}{\sqrt{x_{n}}+\sqrt{a}}\), и получим \)\left | \alpha_{n} \right |< \frac{\left | x_{n} -a\right |}{\sqrt{a}}\). Пусть дано произвольное число \(\varepsilon > 0\). Так как последовательность \(\left \{ x_{n}-a \right \}\) бесконечно малая, то, начиная с некоторого номера n=k, будет выполняться неравенство \(\left | x_{n}-a \right |< \varepsilon \sqrt{a}\). Следовательно, при \(n\geqslant k\) будет выполняться неравенство \(\left | \alpha _{n} \right |< \varepsilon\) , а значит \lim_{ n \to \propto} \alpha _{n}=0. Тогда \lim_{n \to \propto} \sqrt{x_{n}}=\sqrt{a} \)

Ответ: NaN

Решение №7422: 1; 0

Ответ: NaN