Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Найдите \(\lim n_{\to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}=\frac{3+0.5^{n}}{0.3^{n}+5}\)

Решение №3552: \( \lim_{n \to \propto} \frac{3^{n}}{5+3^{n+1}}=\lim_{n \to \propto} \frac{1}{5\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}+3}=\frac{1}{3} \)

Ответ: \frac{1}{3}

Найдите\( \lim_{n \to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}=\sqrt[3]{n^{3}+2n^{2}}-n\)

Решение №3568: \( \lim_{n \to \propto} \left ( \sqrt[3]{n^{3}+2n^{2}-n} \right )=\lim_{ n \to \propto} \frac{n^{3}+2n^{2}-n^{3}}{\sqrt[3]{\left ( n^{3}+2n^{2} \right )^{2}}+\sqrt[3]{n^{6}+2n^{5}}+n^{2}}=\lim_{n \to \propto} \frac{2n^{2}}{n^{2}\left ( \sqrt[3]{\left ( 1+\frac{2}{n} \right )^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{n}}+1 \right )}=\frac{2}{3} \)

Ответ: \frac{2}{3}

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), воспользовавшись свойствами пределов, связанными с неравенствами и арифметическими действиями с пределами. \(x_{n}=\sqrt[n]{2^{n}-n^{2}} \)

Решение №3575: При n> 7 верно неравенство (доказываемое по индукции)\(2^{n-1}\leqslant 2^{n}-n^{2}< 2^{n}-n^{2}< 2^{n}\Leftrightarrow \sqrt[n]{2^{n-1}}\leqslant \sqrt[n]{2^{n}-n^{2}}< \sqrt[n]{2^{n}}, \lim_{n \to \propto} \sqrt[n]{2^{n-1}}=\lim_{n \to \propto}\sqrt[n]{2^{n}}=2. \)

Ответ: 2

Докажите, что \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится, и найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n} : x_{1}=\sqrt[k]{5}, x_{n+1}=\sqrt[k]{5x_{n}}, где k\in N\)

Решение №3584: Найдем искомый предел из уравнения \(A^{k}=5A\) ( так как \(x_{n+1}^{k}=5x_{n}\)). Откуда A=0 или \(A=\sqrt[k-1]{5}\). Так как последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \) возрастает и \(x_{1}=\sqrt[k]{5}> 1,то A=\sqrt[k-1]{5}\). Докажем возрастание и ограниченность последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) по индукции. Так как \(x_{n+1}< x_{n}\) по индукционному предположению , \(то x_{n}=\sqrt[k]{5x_{n-1}}< \sqrt[k]{5x_{n}}=x_{n+1}\). Кроме того, \(x_{n+1}=\sqrt[k]{5x_{n}}< \sqrt[k]{5A}=A. \)

Ответ: NaN

Пусть последовательность задана в виде\( \forall n\in N x_{n+1}=f\left ( x_{n} \right )\), причем f - возрастающая функция. Докажите, что если \(x_{1}\leqslant x_{2}, то \left \{ x_{n} \right \} \)- возрастающая последовательность.

Решение №3589: \( x_{1}\leqslant x_{2}=f\left ( x_{1} \right ) \leqslant f\left ( x_{2} \right )=x_{3}\leqslant ...\leqslant x_{n}=f\left ( x_{n-1} \right )\leqslant f\left ( x_{n} \right )=x_{n+1} \) в силу возрастания функции f. Тогда последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)- возрастающая (не строго).

Ответ: NaN

Дана последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\). Рассмотри последовательности \(x_{n}=a_{2n}, y_{n}=a_{2n-1}, z_{n}=a_{2n+4}, u_{n}=a_{3n} \) Верно ли утверждение, что последовательность \(\left \{ z_{n} \right \}\) сходится, то и последовательность\( \left \{ x_{n} \right \}\) сходится?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Да

Известно, что последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) и \(\left \{ y_{n} \right \} \)являются ограниченными. Какие из последовательностей\( \left \{ z_{n} \right \} \)обязательно являются ограниченными, какие могут быть ограниченными, а какие всегда являются ограниченными (если последовательность \(\left \{ z_{n} \right \}\) существует):\(z_{n}=\ln x_{n}+y_{n} \)

Решение №3599: Может быть как ограниченной, так и неограниченной.

Ответ: NaN