Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17690: ОДЗ: \( x> 0 \) Логарифмируя, имеем \( \left ( \lg 100+\lg x \right )^{2}+\left ( \lg 10+\lg x \right )^{2}=14-\lg x, 2\lg x+7\lg x-9=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \lg x \), получаем \( \left ( \lg x \right )_{1}=-\frac{9}{2} \), или \( \left ( \lg x \right )_{2}=1 \), откуда \( x_{1}=10^{-\frac{9}{2}}, x_{2}=10 \)
Ответ: \( 10^{-\frac{9}{2}}; 10 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17691: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, имеем \( \lg x^{\frac{\lg x+5}{3}}=\lg 10^{5+\lg x}, \frac{\lg x+5}{3}\lg x=\left ( 5+\lg x \right \)lg 10, \lg ^{2}x+2\lg x-15=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \lg x \), получаем \( \left (\lg x \right )_{1}=-5 \), или \( \left (\lg x \right )_{2}=3 \), откуда \( x_{1}=10^{-5}, x_{2}=1000 \)
Ответ: \( 10^{-5}; 10^{3} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17692: ОДЗ: \( x< 0 \) Учитывая, что \( x< 0 \) имеем \( 4\lg \left ( -x \right )-\lg ^{2}\left ( -x \right )-4=0\Leftrightarrow \lg ^{2}\left ( -x \right )-4\lg \left ( -x \right )+4=0, \left ( \lg \left ( -x \right )-2 \right )^{2}=0 \), откуда \( \lg \left ( -x \right )=2, x=-100 \)
Ответ: \( -100 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17693: \(\left ( \left ( \log _{b}^{4}a+\log _{a}^{4}b+2 \right )^{1/2}+2 \right )^{1/2}-\log _{b}a-\log _{a}b=\left ( \left ( \log _{b}^{4}a+\frac{1}{\log _{b}^{4}a}+2 \right )^{1/2}+2 \right )^{1/2}-\log _{b}a-\frac{1}{\log _{b}a}=\sqrt{\sqrt{\frac{\log _{b}^{8}a+2\log _{b}^{4}a+1}{\log _{b}^{4}a}}+2}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=\sqrt{\sqrt{\left ( \frac{\log _{b}^{4}a+1}{\log _{b}^{2}a} \right )^{2}}+2}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=\sqrt{\frac{\log _{b}^{4}a+1}{\log _{b}^{2}a}+2}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=\sqrt{\frac{\log _{b}^{4}a+2\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}^{2}a}}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}^a}=\sqrt{\left ( \frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}^a} \right )^{2}}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\left | \log _{b}a \right |}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a} \) Таким образом, получаем два случая: \( \left\{\begin{matrix} \log _{b}a< 0\) или \( \left\{\begin{matrix} 0< b< 1, & & \\ a> 1 & & \end{matrix}\right. \cup \left\{\begin{matrix} b> 1, & & \\ 0< a< 1; & & \end{matrix}\right. & & \\ -\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=\frac{-2\left ( \log _{b}^{2}a+1 \right )}{\log _{b}a}=-2\left ( \log _{b}a+\log _{a}b \right ); & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} \log _{b}a> 0\) или \( \left\{\begin{matrix} 0< b< 1, & & \\ 0< a< 1 & & \end{matrix}\right. \cup \left\{\begin{matrix} b> 1, & & \\ a> 1; & & \end{matrix}\right. & & \\ \frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=0 & & \end{matrix}\right. \)
Ответ: \( -2\left ( \log _{b}a+\log _{a}b \right ) )\, если \( \left\{\begin{matrix} a> 1, & & \\ 0< b< 1 & & \end{matrix}\right )\ или \( \left\{\begin{matrix} 0< a< 1, & & \\ b> 1 & & \end{matrix}\right )\ и 0, если \( \left\{\begin{matrix} 0< a< 1, & & \\ 0< b< 1 & & \end{matrix}\right )\, или \( \left\{\begin{matrix} a> 1, & & \\ b> 1 & & \end{matrix}\right )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17694: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x^{2}> 0, & & & \\ -x> 0, & & & \\ \log_{2}\left ( -x \right )> 0 & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x< -1 \) Так как по ОДЗ \( x< 0 \), то имеем \( \frac{2}{\sqrt{3}\log_{2}\left ( -x \right )}=\frac{1}{\sqrt{\log_{2}\left ( -x \right )}} \Rightarrow \frac{4}{3\log_{2}^{2}\left ( -x \right )}=\frac{1}{\log_{2}\left ( -x \right )} \Leftrightarrow 3\log_{2}^{2}\left ( -x \right )-4\log_{2}\left ( -x \right )=0 \Leftrightarrow \log_{2}\left ( -x \right \)left ( 3\log_{2}\left ( -x \right )-4 \right )=0 \Leftrightarrow \log_{2}\left ( -x \right )=\frac{4}{3} \), так как \( \log_{2}\left ( -x \right \)neq 0 \) Отсюда \( -x=2^{4/3}, x=-2^{4/3} \)
Ответ: \( -2^{4/3} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17695: Перепишем уравнение в виде \( 3*4^{x-2}-a*4^{x-2}=a-27 \Leftrightarrow \left ( 3-a \right )*4^{x-2}=a-27 \Rightarrow 4^{x-2}=\frac{a-27}{3-a} .\frac{a-27}{3-a}> 0 \) Логарифмируя обе части этого уравнения по основанию 4, получим \( \log _{4}4^{x-2}=\log _{4}\frac{a-27}{3-a} \Leftrightarrow x-2=\log _{4}\frac{a-27}{3-a}, x=2+\log _{4}\frac{a-27}{3-a} \), где \( \frac{a-27}{3-a}> 0 \) Решая полученное неравенство методом интервалов, имеем. Таким образом \( a\epsilon \left ( 3; 27 \right ) \)
Ответ: \( 2+\log _{4}\frac{a-27}{3-a} )\, где \( a\epsilon \left ( 3; 27 \right ) )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17696: \( \left ( 6\left ( \log _{b}a*\log _{a^{2}}b+1 \right )+\log _{b}a^{-6}+\log _{a}^{2}b \right )^{1/2}-\log _{a}b=\left ( 6\left ( \frac{1}{2}+1 \right )-6\log _{a}b+\log _{a}^{2}b \right )^{1/2}-\log _{a}b=\sqrt{9-6\log _{a}b+\log _{a}^{2}b}-\log _{a}b=\sqrt{\left ( 3-\log _{a}b \right )^{2}}-\log _{a}b=\left | 3-\log _{a}b \right |-\log _{a}b \) Раскрывая модуль, получим два случая: \( \left | 3-\log _{a}b \right |-\log _{a}b=\left\{\begin{matrix} 3-\log _{a}b\leq 0, & & \\ -3+\log _{a}b-\log _{a}b=-3; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} b\geq a^{3}, & & \\ \left | 3-\log _{a}b \right |-\log _{a}b=-3; & & \end{matrix}\right. \left | 3-\log _{a}b \right |-\log _{a}b=\left\{\begin{matrix} 3-\log _{a}b> 0, & & \\ 3-\log _{a}b-\log _{a}b=3-2\log _{a}b; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} 0< b< a^{3} & & \\ \left | 3-\log _{a}b \right |-\log _{a}b=3-2\log _{a}b. & & \end{matrix}\right. \)
Ответ: \( -3 )\, если \( b\geq a^{3} )\, и \( 3-2\log _{a}b )\, если \( 0< b< a^{3}, b\neq 1 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17697: ОДЗ: \( x\neq 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 2^{\frac{6}{x}}-2^{3+\frac{3}{x}}+12=0, \left ( 2^{\frac{3}{x}} \right )^{2}-8*2^{\frac{3}{x}}+12=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\frac{3}{x}} \), получаем \( \left (2^{\frac{3}{x}} \right )_{1}=2 \), откуда \( \left ( \frac{3}{x} \right )_{1}=1, x_{1}=3 \), или \( \left (2^{\frac{3}{x}} \right )_{2}=6 \), откуда \( \left ( \log _{2}2^{\frac{3}{x}} \right )_{2}=\log _{2}6, \left ( \frac{3}{x} \right )_{2}=\log _{2}6, x_{2}=\frac{3}{\log _{2}6}=3\log _{6}2=\log _{6}8 \)
Ответ: \( 3; \log _{6}8 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17698: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя обе части уравнения по основанию 3, имеем \( \log _{3}27x^{\log _{27}x}=\log _{3}x^{10/3}, 3+\frac{1}{3}\log _{2}^{3}x=\frac{10}{3}\log _{3}x, \log _{2}^{3}x-10\log _{3}x+9=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{3}x \), получаем \( \left ( \log _{3}x \right )_{1}=1 \), или \( \left ( \log _{3}x \right )_{2}=9 \), откуда \( x_{1}=3, x_{2}=3^{9} \)
Ответ: \( 3; 3^{9} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17699: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-2> 0 & & \\ x-4\neq 0 & & \end{matrix}\right.2< x\neq 4 \) Из условия \( 2\log _{3}\left ( x-2 \right )+2\log _{3}\left | x-4 \right |=0 или \( \log _{3}\left ( x-2 \right )+\log _{3}\left | x-4 \right |=0 \) Имеем: \( \left\{\begin{matrix} 2< x< 4 & & \\ \log _{3}\left ( x-2 \right )+\log _{3}\left ( 4-x \right )=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2< x< 4 & & \\ \log _{3}\left ( x-2 \right \)left ( 4-x \right )=0 & &\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2< x< 4 & & \\ x^{2}-6x+9=0 & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x_{1}=3 \); \left\{\begin{matrix} x> 4 & & \\ \log _{3}\left ( x-2 \right \)left ( x-2 \right )=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 4 & & \\ \log _{3}\left ( x-2 \right \)left ( 4-x \right )=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 4 & & \\ x^{2}-6x+7=0 & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x_{2}=3+\sqrt{2} \)
Ответ: \( 3; 3+\sqrt{2} )\