Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17680: ОДЗ: \( x> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 3^{\log _{3}x+2\log _{3}x+3\log _{3}x+...+8\log _{3}x}=27x^{30} \Leftrightarrow \left ( 3^{\log _{3}x} \right )^{\left ( 1+2+3+...+8 \right )}=27x^{30} \Leftrightarrow x^{1+2+3+...+8}=27x^{30} \Leftrightarrow x^{6}=27 \), откуда \( x=\sqrt[6]{27}=\sqrt{3} \)
Ответ: \( \sqrt{3} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17681: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & & \\ x\neq \frac{1}{9}, & & & \\ x\neq \pm \frac{1}{3} & & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию 9. Имеем \( \frac{5\log _{9}x}{\log _{9}\frac{x}{9}}+\frac{\log _{9}x^{3}}{\log _{9}\frac{9}{x}}+\frac{8\log _{9}x^{2}}{\log _{9}9x^{2}}=2 \Leftrightarrow \frac{5\log _{9}x}{\log _{9}x-1}+\frac{3\log _{9}x}{1-\log _{9}x}+\frac{16\log _{9}x}{1+2\log _{9}x}=2 \Leftrightarrow 8\log _{9}^{2}x-6\log _{9}x+1=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{9}x \), получим \( \left ( \log _{9}x \right )_{1}=\frac{1}{4} \), или \( \left ( \log _{9}x \right )_{2}=\frac{1}{2} \), откуда \( x_{1}=\sqrt{3}, x_{2}=3 \)
Ответ: \( \sqrt{3}; 3 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17682: Имеем \( \frac{2^{x^{2}}}{2}+4*2^{x^{2}}=\frac{3^{x^{2}}}{3}+3^{x^{2}}, \frac{9}{2}*2^{x^{2}}=\frac{4}{3}*3^{x^{2}}, \left ( \frac{2}{3} \right )^{x^{2}}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{3} \) Тогда \( x^{2}=3 \), откуда \( x_{1}=- \sqrt{3} , x_{1}=\sqrt{3} \)
Ответ: \( -\sqrt{3};\sqrt{3} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17683: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Из условия имеем \( \frac{x^{2\lg ^{2}x}}{x^{3}*x^{3\lg x}}=\frac{1}{100} \Leftrightarrow x^{2\lg ^{2}x-3\lg x-3}=10^{-2} \) логарифмируя обе части этого уравнения по основанию 10, получим \( \lg x^{2\lg ^{2}x-3\lg x-3}=\lg 10^{-2} \Leftrightarrow \left ( 2\lg ^{2}x-3\lg x-3 \right \)lg x=-2 \Leftrightarrow 2\lg ^{2}x-3\lg ^{2}x-3\lg x+2=0 \Leftrightarrow 2\left ( \lg ^{3}x+1 \right )-3\lg x\left ( \lg x+1 \right )=0 \Leftrightarrow 2\left ( \lg x+1 \right \)left ( \lg ^{2}x-\lg x+1 \right )-3\lg x\left ( \lg x+1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( \lg x+1 \right \)left ( 2\lg ^{2}x-5\lg x+2 \right )=0 \Leftrightarrow \lg x+1=0 , 2\lg ^{2}x-5\lg x+2=0 \) Из первого уравнения имеем \( \lg x=-1, x_{1}=\frac{1}{10} \), а из второго \( \lg x=\frac{1}{2}, x_{2}=\sqrt{10} \), или \( \lg x=2, x_{3}=100 \)
Ответ: \( 0,1; \sqrt{10}; 100)\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17684: Имеем \( 3*4^{2x}+2*9^{2x}-5*4^{x}*9^{x}=0 \Rightarrow 3*\left ( \frac{4}{9} \right )^{2x}-5*\left ( \frac{4}{9} \right )^{x}+2=0 \Rightarrow \left ( \frac{4}{9} \right )^{x}=\frac{2}{3} \), или \( \left ( \frac{4}{9} \right )^{x}=1 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{2}, x_{2}=0\)
Ответ: \( 0; \frac{1}{2} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17685: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2-x> 0 & & \\ 2-\sqrt{x}> 0 & & \end{matrix}\right.0\leq x< 2 \) Из условия имеем \( \log _{2}\frac{2-x}{2-\sqrt{x}}=\log _{2}\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \frac{2-x}{2-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \frac{2-x}{2-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}}=0\Leftrightarrow \sqrt{2-x}\left ( \frac{\sqrt{2-x}}{2-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{2}} \right )=0 \), откуда \( \frac{\sqrt{2-x}}{2-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=0, \sqrt{4-2x}=2-\sqrt{x}, 4-2x=4-4\sqrt{x}+x, 3x-4\sqrt{x}=0, \sqrt{x}\left ( 3\sqrt{x}-4 \right )=0 \) Таким образом, \( x_{1}=0, x_{2}=\frac{16}{9} \)
Ответ: \( 0; \frac{16}{9} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17686: \left\{\begin{matrix} 0< x\neq \frac{1}{2} & & \\ x\neq 1 & & \end{matrix}\right. \frac{\log _{2}16}{\log _{2}x^{2}}+\frac{\log _{2}6 }{\log _{2}2x}=3 \Leftrightarrow \frac{4}{2\log _{2}x}+\frac{6}{1+\log _{2}x}-3=0 \Leftrightarrow 3\log _{2}^{2}x-5\log _{2}x-2=0 , \log _{2}x\neq 0 , \log _{2}x\neq -1 , \log _{2}x , \log _{2}x=-\frac{1}{3}, x_{1}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=0.5\sqrt[3]{4}; \log _{2}x=2, x_{2}=4.
Ответ: \( 05\sqrt[3]{4}; 4 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17687: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & \\ x\neq \frac{1}{4} & \\ x\neq \frac{1}{16} & \\ x\neq 2 & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию 2: \( \frac{20\log _{2}\sqrt{x}}{\log _{2}4x}+\frac{7\log _{2}x^{3}}{\log _{2}16x}-\frac{3\log _{2}x^{3}}{\log _{2}\frac{x}{2}}=0 \Leftrightarrow \frac{10\log _{2}x}{2+\log _{2}x}+\frac{21\log _{2}x}{4+\log _{2}x}-\frac{6\log _{2}x}{\log _{2}x-1}=0 \Leftrightarrow 5\log _{2}^{3}x+3\log _{2}^{2}x-26\log _{2}x=0 \Leftrightarrow \log _{2}x\left ( 5\log _{2}^{2}x+3\log _{2}x-26 \right )=0 \Leftrightarrow \log _{2}x\left ( \log _{2}x+\frac{13}{5} \right \)left ( \log _{2}x-2 \right )=0 \), откуда \( \left ( \log _{2}x \right )_{1}=0 , \left ( \log _{2}x \right )_{2}=-\frac{13}{5}, \left ( \log _{2}x \right )_{3}=2 \) Итак \( x_{1}=1, x_{2}=2^{-\frac{13}{5}}=\frac{1}{4\sqrt[5]{8}}, x_{3}=4 \)
Ответ: \( 1; \frac{1}{4\sqrt[5]{8}}; 4 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17688: ОДЗ: \( x\neq \frac{1}{2} \) Перепишем уравнение в виде \( 2^{3x}-5*2^{2x}+2^{x}+10=0 \), Пусть \( 2^{x}=y \) Тогда уравнение принимает вид \( y^{3}-5y^{2}+y+10=0 \) Разделим левую часть уравнения на \( y-2 . y^{3}-5y^{2}+y+10 y-2 - y^{3}-2y^{2} y^{2}-3y-5 -3y^{2}+y - -3y^{2}+6y -5y+10 - -5y+10 0 \) Уравнение можно представить в виде \( \left ( y-2 \right \)left ( y^{2}-3y-5 \right )=0 \), откуда \( y_{1}=2, y_{2,3}=\frac{3\pm \sqrt{29}}{2} \) Получили: \( 2^{x}=2 \Rightarrow x_{1}=1; 2^{x}=\frac{3-\sqrt{29}}{2}< 0 \) (нет решений); \( 2^{x}=\frac{3+\sqrt{29}}{2} \Rightarrow x_{3}=\log_{2}\frac{3+\sqrt{29}}{2}=\log_{2}\left ( 3+\sqrt{29} \right )-1 \)
Ответ: \( 1; \log_{2}\left ( 3+\sqrt{29} \right )-1 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17689: ОДЗ: \( x+2> 0, x> -2 \) Перепишем уравнение в виде \( \lg \left ( x+2 \right \)left ( x^{2}-2x+4 \right )-0.5\lg \left ( x+2 \right )^{2}=\lg 7\Leftrightarrow \lg \left ( x+2 \right \)left ( x^{2}-2x+4 \right )-\lg \left ( x+2 \right )=\lg 7\Leftrightarrow \lg \frac{\left ( x+2 \right \)left ( x^{2}-2x+4 \right )}{x+2}=\lg 7\Leftrightarrowx^{2}-2x+4=7, x^{2}-2x-3=0 \), откуда \( x_{1}=-1, x_{2}=3 \)
Ответ: \( -1; 3 )\