Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17670: \( \frac{\log _{a}b-\log _{\sqrt{a}/b^{3}}\sqrt{b}}{\log _{a/b^{4}}b-\log _{a/b^{6}b}\div \log _{b}\left ( a^{3}b^{-12} \right )=\frac{\log _{a}b-\frac{\log _{a}\sqrt{b}}{\log _{a}\frac{\sqrt{a}}{b^{3}}}}{\frac{\log _{a}b}{\log _{a}\frac{a}{b^{4}}}-\frac{\log _{a}b}{\log _{a}\frac{a}{b^{6}}}}\div \frac{\log _{a}a^{3}*b^{-12}}{\log _{a}b}=\frac{\log _{a}b-\frac{\frac{1}{2}\log _{a}b}{{\frac{1}{2}-3\log _{a}b}}}{\frac{{\log _{a}b}}{1-4{\log _{a}b}}-\frac{{\log _{a}b}}{1-6{\log _{a}b}}}*\frac{\log _{a}b}}{3-12{\log _{a}b}}=\frac{-3{\log _{a}^{2}b\left ( 1-4\log _{a}b \right \)left ( 1-6\log _{a}b \right )}}{\left (-6\log _{a}^{2}b+4\log _{a}^{2}b \right \)left ( \frac{1}{2}-3\log _{a}b \right )}*\frac{\log _{a}b}{3\left ( 1-4\log _{a}b \right )}=\log _{a}b \)
Ответ: \( \log _{a}b )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17671: ОДЗ: \( x> 0 \) Перейдем к основанию 10. Имеем \( \lg x+2\lg x+3\lg x+...+10\lg x=5.5, \left ( 1+2+3+...+10 \right \)lg x=5.5 \) В скобках сумма членов арифметической прогрессии \( S_{n} \) с \( a_{1}=1, d=1, a_{n}=10, n=10:S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}n=\frac{1+10}{2}*10=55 \) Тогда \( 55\lg x=5.5 \Leftrightarrow \lg x=\frac{1}{10} \), откуда \( x=\sqrt[10]{10} \)
Ответ: \( \sqrt[10]{10} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17672: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Имеем \( 3*2^{2\log _{x}2}-23*2^{\log _{x}2}-8=0 \) Решая уравнение как квадратное относительно \( 2\log _{x}2 \), найдем \( 2\log _{x}2=-\frac{1}{3}, \varnothing \); или \( 2\log _{x}2=8 \), откуда \( \log _{x}2=3, x=\sqrt[3]{2} \)
Ответ: \( \sqrt[3]{2} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17673: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия \( \log _{2}\sqrt[3]{2}=\log _{2}2^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}, \log _{2}^{2}x-3\log _{2}x+\frac{2}{3}\log _{2}x+\frac{2}{3}=0, 3\log _{2}^{2}x-7\log _{2}x+2=0 \) Решая уравнение как квадратное относительно \( \log _{2}x \), имеем \( \left ( \log _{2}x \right )_{1}=\frac{1}{3} \), или \( \left ( \log _{2}x \right )_{2}=2 \), откуда \( x_{1}=\sqrt[3]{2}, x_{2}=4 \)
Ответ: \( \sqrt[3]{2}; 4 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17674: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перепишем уравнение в виде \( \frac{1}{2}\log _{x}2-\frac{1}{4}\log _{x}^{2}2=3-\log _{x}2-1,\log _{x}^{2}2-6\log _{x}2+8=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{x}2 \), найдем \( \log _{x}2=2, \log _{x}2=4 \), откуда \( x^{2}=2 , x^{4}=2 \) Тогда \( x_{1}=-\sqrt{2}, x_{2}=\sqrt{2}, x_{3}=-\sqrt[4]{2}, x_{4}=\sqrt[4]{2}, x_{1}=-\sqrt{2}, x_{3}=-\sqrt[4]{2} не подходят по ОДЗ.
Ответ: \( \sqrt[4]{2}; \sqrt{2} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17675: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию \( 6-\left ( 1+4*9^{\circ} \right \)log _{7}x=\frac{1}{\log _{7}x} \Leftrightarrow 5\log _{7}^{2}x-6\log _{7}x+1=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{7}x \), получим \( \left ( \log _{7}x \right )_{1}=\frac{1}{5} \), или \( \left ( \log _{7}x \right )_{2}=1 \), откуда \( x_{1}=\sqrt[5]{7}, x_{2}=7 \)
Ответ: \( \sqrt[5]{7}; 7 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17676: Из условия \( \left\{\begin{matrix} \log _{a}x\geq 0, & & & \\ 0< a\neq 1, & & & \\ 0< x\neq 1 & & & \end{matrix}\right. \sqrt{\log _{a}x}+\frac{1}{\sqrt{\log _{a}x}}-\frac{10}{3}=0 \Rightarrow 3\left ( \sqrt{\log _{a}x} \right )^{2}-10\sqrt{\log _{a}x}+3=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{\log _{a}x} \), получаем \( \left ( \sqrt{\log _{a}x} \right )_{1}=\frac{1}{3}, \left ( \log _{a}x \right )_{1}=\frac{1}{9} \), откуда \( x_{1}=\sqrt[9]{a} \), или \( \left ( \sqrt{\log _{a}x} \right )_{2}=3, \left ( log_{a}x \right )_{2}=9 \), откуда \( x_{2}=a^{9} \)
Ответ: \( \sqrt[9]{a} ; a^{9}, 0< a\neq 1 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17677: Имеем \( \frac{9^{x^{2}}}{9}-36*\frac{3^{x^{2}}}{27}+3=0, 3^{2x^{2}}-12*3^{x^{2}}+27=0 \) Решив уравнение как квадратное относительно \( 3^{ x^{2}} \), получим \( 3^{ x^{2}}= 3 \), откуда \( x^{2}= 1 x_{1,2}=\pm 1 \), или \( 3^{ x^{2}} = 9 \), откуда \( x^{ 2} = 2 , x_{3,4}=\pm 2 \)
Ответ: \( -\sqrt{2}; -1; 1; \sqrt{2} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17678: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0 & & \\ x\neq \pm 1 & & \end{matrix}\right.0< x\neq 1 \) Имеем \( \log _{x}9+\frac{3}{2}\log _{x}9=10, \log _{x}9=4 \), откуда \( x^{4}=9, x=\sqrt{3}, x=-\sqrt{3} \) не подходит по ОДЗ.
Ответ: \( \sqrt{3} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17679: ОДЗ: \( x> 0 \) Перейдем к основанию 3. Получаем \( 2\log _{3}x+4\log _{3}x+6\log _{3}x+...+16\log _{3}x=36 \Leftrightarrow \left ( 2+4+6+...+16 \right \)log _{3}x=36 \Leftrightarrow \left ( 1+2+3+...+8 \right \)log _{3}x=18 \Leftrightarrow 36\log _{3}x=18 \Leftrightarrow \log _{3}x=\frac{1}{2} \), откуда \( x=\sqrt{3} \)
Ответ: \( \sqrt{3} )\