Решение №17380: Отложим на продолжении медианы \(AM\) за точку \(M\) отрезок \(MK\), равный \(AM\) (см. рис. ниже). Тогда \(CK = AB\). Применяя неравенство треугольника к треугольнику \(ABK\), получим \(2AM = AK < AB + BK = AB + AC\) и \(2AM = AK > AB − BK = AB − AC\). Отсюда следует, что \( \frac{1}{2}\left ( AB-AC \right )< AM < \frac{1}{2}\left ( AB+AC \right ) \) .

Ответ: NaN

Решение №17381: Продолжим \(AM\) до пересечения со стороной \(BC\) в точке \(K\) (см. рис. ниже). Тогда \( \angle BMK = \angle BAM + \angle ABM > \angle BAM\) и \( \angle CMK = \angle CAM + \angle ACM > \angle CAM\). Следовательно, \( \angle BMC = \angle BMK + \angle CMK > \angle BAM + \angle CAM = \angle BAC\).

Ответ: NaN

Решение №17382: Поскольку угол \(B\) треугольника \(BCK\) (см. рис. ниже) больше угла \(A\) треугольника \(ACK\) (против большей стороны \(AC\) треугольника \(ABC\) лежит больший угол), а углы \(BCK\) и \(ACK\) этих треугольников равны, то \(\angle BKC < \angle AKC\), а так как это смежные углы, то угол \(AKC\) тупой.

Ответ: NaN

Решение №17383: Угол \(ADB\) — внешний угол треугольника \(BDC\) (см. рис. ниже), поэтому \angle ADB > \angle CBD = \angle ABD\) , значит, в треугольнике \( ABD\) сторона \(AB\) больше стороны \(AD\). Аналогично, \(CB > CD\).

Ответ: NaN

Решение №17384: Отложим на продолжении медианы \(CD\) за точку \(D\) отрезок \(DC_{1}\), равный \(DC\) (см. рис. ниже). Тогда \(AC_{1} = BC\) и \( \angle AC_{1}C = \angle BCD\). В треугольнике \(CAC_{1}\) известно, что \( AC > AC_{1} = BC\). Следовательно, \(\angle ACD = \angle ACC_{1} < \angle AC_{1}C = \angle BCD\).

Ответ: NaN

Решение №17385: Пусть \(BD\) — биссектриса треугольника \(ABC\) (см. рис. ниже) и \(AB > BC\). Рассмотрим точку \(C_{1}\), симметричную вершине \(C\) относительно биссектрисы угла \(B\). Тогда \(CD = C_{1}D\). Поскольку \(BC_{1} = BC < AB\), точка \(C_{1}\) лежит на отрезке \(AB\), а \(AC_{1}D\) — внешний угол треугольника \(BDC_{1}\), поэтому \(\angle AC_{1}D > \angle BDC_{1} = \angle BDC > \angle A\. Следовательно, \(CD = C_{1}D < AD\).

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Решение №17387: В треугольнике \(ABN\) (см. рис. ниже) угол \(B\) наибольший, поэтому \(AN > AB\), а так как \(AM\) — биссектриса треугольника \(ABN\), то \(MN > BM\). Неравенство \( MN < NC\) доказывается аналогично.

Ответ: NaN

Решение №17388: В треугольнике \(ABN\) сторона \(AN\) лежит против тупого или прямого угла \(ABN\), поэтому \(AN > AB\). На продолжении отрезка \(AM\) за точку \(M\) отложими отрезок \(MK\), равный \(AM\). Тогда четырёхугольник \(ANKB\) — параллелограм. Поэтому \(NK = AB < AN\). В треугольнике \(ANK\) против стороны \(AN\) лежит угол \(AKN\), больший угла, лежащего против стороны \(KN\), т.е. угла \(MAN\). Поэтому \( \angle BAM = \angle AKN > \angle MAN \). Аналогично докажем, что \(\angle MAN > \angle NAC\).

Ответ: NaN

Решение №17389: Содержащая точку B полуплоскость, граница которой — серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Ответ: NaN