Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен среднему арифметическому двух других углов. Укажите среднюю по величине сторону треугольника.

Решение №17360: Поскольку в треугольнике против большего угла лежит большая сторона , то средняя по величине сторона треугольника лежит против среднего по величине угла треугольника, а так как среднее арифметическое двух чисел содержится между этими числами, то средний по величине угол треугольника \(ABC\) —‍ это угол при вершине \(A\).‍ Следовательно, \(BC\) —‍ средняя по величине сторона треугольника \(ABC\).

Ответ: BC

Докажите, что диаметр есть наибольшая хорда окружности.

Решение №17361: Если хорда \(AB\) не является диаметром окружности с центром \(O\) (см. рис. ниже), то для равнобедренного треугольника \(AOB\) верно неравенство \(AB < OA + OB\).

Ответ: NaN

Даны четыре точки \(A, B, C\) и \(D\). Докажите, что \( AD < AB + BC + CD\).

Решение №17362: Из простейшего неравенства треугольника \(АВ + ВС > АС\); поэтому \(АВ + ВС + CD > AC + CD\); но \(АС + СD > AD\) (из того же неравества треугольника).

Ответ: NaN

Существует ли четырехугольник со сторонами, равными: а) 1, 1, 1, 2; б) 1, 2, 3, 6?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) Да; б) нет.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит прямой угол на два неравных угла. Докажите, что катет, прилежащий к меньшему из них, меньше другого катета.

Решение №17364: Если \(CD\) — высота прямоугольного треугольника \(ABC\), проведенная к гипотенузе \(AB\) (см. рис. ниже), то \( \angle ACD = \angle ∠ABC и \angle ∠BCD = ∠\angle BAC\).

Ответ: NaN

Основание \(D\) высоты \(AD\) треугольника \(ABC\) лежит на стороне \(BC\), причем \( \angle BAD > \angle CAD\). Что больше, \(AB\) или \(AC\)?

Решение №17365: Если \( \angle BAD > \angle CAD\) (см. рис. ниже), то \( \angle ABC = 90^{\circ} − \angle BAD < 90^{\circ} − \angle CAD = ∠\angle ACB\).

Ответ: AB > AC

Докажите, что в треугольнике любая сторона меньше половины периметра.

Решение №17366: Пусть \(a, b, c\) — стороны треугольника. Тогда \(a + b + c = a + (b + c) > a + a = 2a\) , поэтому \( a< \frac{1}{2}\left ( a+b+c \right ) \) .

Ответ: NaN

Докажите, что в четырехугольнике любая диагональ меньше половины периметра.

Решение №17367: Пусть \(AC\) — диагональ четырехугольника \(ABCD\) (см. рис. ниже). Применяя неравенство треугольника к треугольникам \(ABC\) и \(ACD\), получим \(AC < AB + BC\) и \(AC < AD + CD\). Сложив почленно эти неравенства, найдем \( 2AC < AB + BC + AC + CD\), откуда \( AC< \frac{1}{2}\left ( AB+BC+AC+CD \right ) \) .

Ответ: NaN

Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырехугольника больше суммы его двух противоположных сторон.

Решение №17368: Пусть \(M\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) данного четырехугольника \(ABCD\) (см. рис. ниже). Тогда \(AB < AM+ BM\) и \(CD < CM + DM\). Сложив почленно эти неравенства, получим \(AB + CD < AM + BM + CM + DM = (AM + CM) + (BM + DM) = AC + BD\).

Ответ: NaN

Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырехугольника. Где нужно вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до четырех домов была наименьшей?

Решение №17369: В точке пересечения диагоналей четырехугольника. Указание. Предположите, что искомая точка не лежит на одной из диагоналей, и примените неравенство треугольника.

Ответ: NaN