Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

На прямой отмечены точки \(A\) и \(C\) так, что \(AC=3.\) Точка \(B\) лежит на отрезке \(AC,\) причем \(AB : BC=2 : 1.\) Найдите на данной прямой все точки \(D\) такие, что \(AD+BD=CD.\)

Решение №16877: Две точки на луче \(BA\) такие, что \(BD=1\) или \(BD=3\)

Ответ: Две

Точки \(A\) и \(B\) движутся по прямой. Определите, на какую величину переместится середина отрезка \(AB,\) если точка \(A\) переместится на 3 единицы, а точка \(B\) - на 7 единиц. Рассмотрите случаи движения точек в одном направлении и в противоположном направлениях.

Решение №16878: В одном направлении - на 5 единиц, в разных - на 2 единицы

Ответ: В од

Упростить выражение \(\left ( \frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab} \right )\cdot \left ( \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b} \right )^{2}\)

Решение №16879: \(\left ( \frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab} \right )\cdot \left ( \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b} \right )^{2}=\left ( \frac{\sqrt{a^{3}}+\sqrt{b^{3}}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab} \right )\cdot \left ( \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\left ( \sqrt{a} \right )^{2}-\left ( \sqrt{b} \right )^{2}} \right )^{2}=\left ( \sqrt{a^{2}}-2\sqrt{ab}+\sqrt{b^{2}} \right )\frac{1}{\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}}=\frac{\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}}{\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}}=1\)

Ответ: 1

Упростить выражение \(\frac{1-\sqrt{2t}}{\frac{1-\sqrt[4]{8t^{3}}}{1-\sqrt[4]{2t}}-\sqrt{2t}}\cdot \left ( \frac{\sqrt[4]{\frac{1}{2t}}+\sqrt[4]{4t^{2}}}{1+\sqrt[4]{\frac{1}{2t}}}-\sqrt{2t} \right )^{-1}\)

Решение №16880: \(\frac{1-\sqrt{2t}}{\frac{1-\sqrt[4]{8t^{3}}}{1-\sqrt[4]{2t}}-\sqrt{2t}}\cdot \left ( \frac{\sqrt[4]{\frac{1}{2t}}+\sqrt[4]{4t^{2}}}{1+\sqrt[4]{\frac{1}{2t}}}-\sqrt{2t} \right )^{-1}=\frac{\left ( 1-\sqrt[4]{4t^{2}} \right )\left ( 1-\sqrt[4]{2t} \right )}{1-\sqrt[4]{4t^{2}}}\cdot \left ( \frac{1+\sqrt[4]{8t^{3}}}{1+\sqrt[4]{2t}}-\sqrt[4]{4t^{2}} \right )^{-1}=\left ( 1-\sqrt[4]{2t} \right )\left ( 1-\sqrt[4]{2t}+\sqrt[4]{4t^{2}}-\sqrt[4]{4t^{2}} \right )^{-1}=\left ( 1-\sqrt[4]{2t} \right )\left ( 1-\sqrt[4]{2t} \right )^{-1}=\frac{\left ( 1-\sqrt[4]{2t} \right )}{\left ( 1-\sqrt[4]{2t} \right )}=1\)

Ответ: 1

Сделать указанную подстановку и упростить результат \(\frac{1-ax}{1+ax}\sqrt{\frac{1+bx}{1-bx}}; x=\frac{1}{a}\sqrt{\frac{2a-b}{b}}; \)

Решение №16881: \(\frac{1-ax}{1+ax}\sqrt{\frac{1+bx}{1-bx}}; x=\frac{1}{a}\sqrt{\frac{2a-b}{b}}; = \frac{1-a\frac{1}{a}\sqrt{\frac{2a-b}{b}}}{1+a\frac{1}{a}\sqrt{\frac{2a-b}{b}}}\cdot \sqrt{\frac{1+b\frac{1}{a}\sqrt{\frac{2a-b}{2}}}{1-b\frac{1}{a}\sqrt{\frac{2a-b}{b}}}}=\frac{1-\sqrt{\frac{2a-b}{}}}{1+\sqrt{\frac{2a-b}{b}}}\cdot \sqrt{\frac{1+\frac{1}{a}\sqrt{\frac{b^{2}\left ( 2a-b \right )}{b}}}{1-\frac{1}{a}\sqrt{\frac{b^{2}\left ( 2a-b \right )}{b}}}}=\frac{a-\sqrt{b\left ( 2a-b \right )}}{b-a}\sqrt{\left ( \frac{a+\sqrt{b}\left ( 2a-b \right )}{a-b} \right )^{2}}=\frac{a^{2}-b\left ( 2a-b \right )}{\left ( b-a \right )^{2}}=\frac{\left ( b-a \right )^{2}}{\left ( b-a \right )^{2}}=1\)

Ответ: 1

Упростить выражение и вычислить \(\frac{\left ( a^{2}b\sqrt{b}-6a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{5}{4}}+12ab\sqrt[3]{a}-8ab^{\frac{3}{4}} \right )^{\frac{2}{3}}}{ab\sqrt[3]{a}-4ab^{\frac{3}{4}}+4a^{\frac{2}{3}}\sqrt{b}}\)

Решение №16882: \(\frac{\left ( a^{2}b\sqrt{b}-6a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{5}{4}}+12ab\sqrt[3]{a}-8ab^{\frac{3}{4}} \right )^{\frac{2}{3}}}{ab\sqrt[3]{a}-4ab^{\frac{3}{4}}+4a^{\frac{2}{3}}\sqrt{b}}=\frac{\left ( a^{2}b^{\frac{3}{2}}-6a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{5}{4}}+12a^{\frac{4}{3}}b-8ab^{\frac{3}{4}} \right )^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}b-4ab^{\frac{3}{4}}+4a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}}=\frac{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}\left ( \left ( ab^{\frac{3}{4}}-8 \right )-6a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}}\left ( ^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}}-2 \right ) \right )^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}\left ( a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}}-2 \right )^{2}}=\frac{\left ( \left ( a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}}-2 \right )\left ( a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}}-2 \right )^{2} \right )^{\frac{2}{3}}}{\left (a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}}-2 \right )^{2}}=\frac{\left ( \left ( a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}}-2 \right )^{3} \right )^{\frac{2}{3}}}{\left ( a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}}-2 \right )^{2}}=\frac{\left ( a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}}-2 \right )^{2}}{\left ( a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}}-2 \right )^{2}}=1\)

Ответ: 1

Упростить выражение и вычислить \(\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\)

Решение №16883: \(\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\sqrt{4-2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{4-2-\sqrt{3}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\left ( 2+\sqrt{3} \right )\left ( 2-\sqrt{3} \right )}=\sqrt{4-3}=1\)

Ответ: 1

Упростить выражение и вычислить \(\frac{\left ( \left ( \sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n} \right )^{2}-\left ( \sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n} \right )^{2} \right )^{2}-\left ( 16m+4n \right )}{4m-n}+\frac{10\sqrt{m}-3\sqrt{n}}{\sqrt{n}+2\sqrt{m}}\)

Решение №16884: \(\frac{\left ( \left ( \sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n} \right )^{2}-\left ( \sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n} \right )^{2} \right )^{2}-\left ( 16m+4n \right )}{4m-n}+\frac{10\sqrt{m}-3\sqrt{n}}{\sqrt{n}+2\sqrt{m}}=\frac{-4\left ( 4m-4\sqrt{mn}+n \right )}{4m-n}+\frac{10\sqrt{m}-3\sqrt{n}}{2\sqrt{m}+\sqrt{n}}=\frac{-8\sqrt{m}+4\sqrt{n}+10\sqrt{m}-3\sqrt{n}}{2\sqrt{m}+\sqrt{n}}=\frac{2\sqrt{m}+\sqrt{n}}{2\sqrt{m}+\sqrt{n}}=1\)

Ответ: 1

Упростить выражение и вычислить \(\frac{\sqrt{\left ( \frac{9-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt[3]{2}}+3\sqrt[3]{2} \right )\sqrt{3}}}{3+\sqrt[6]{108}}\)

Решение №16885: \(\frac{\sqrt{\left ( \frac{9-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt[3]{2}}+3\sqrt[3]{2} \right )\sqrt{3}}}{3+\sqrt[6]{108}}=\frac{\sqrt{\frac{\sqrt[6]{3^{12}}-\sqrt[6]{2^{6}*3^{3}}+\sqrt[6]{3^{9}*2^{2}}-\sqrt[6]{3^{6}*2^{4}}}{\sqrt[6]{3^{6}}-\sqrt[6]{2}}\cdot \sqrt[6]{3^{3}}}}{\sqrt[6]{3^{6}}+\sqrt[6]{3^{3}*2^{2}}}=\frac{\sqrt{\left ( \left ( \sqrt[6]{3^{3}}+\sqrt[6]{2^{2}} \right )\cdot \sqrt[6]{3^{3}} \right )^{2}}}{\sqrt[6]{3^{3}}\left ( \sqrt[6]{3^{3}}+\sqrt[6]{2^{2}} \right )}=\frac{\left ( \sqrt[6]{3^{3}}+\sqrt[6]{2^{2}} \right )\sqrt[6]{3^{3}}}{\sqrt[6]{3^{3}}\left ( \sqrt[6]{3^{3}}+\sqrt[6]{2^{2}} \right )}=1\)

Ответ: 1

Упростить выражение и вычислить \(\left ( \frac{a+a^{\frac{3}{4}}a^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{3}{2}}+b^{2}}{a^{\frac{1}{2}}+2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{2}}+b}\left ( \sqrt[4]{a}+\sqrt{b} \right )+\frac{3\sqrt{b}\left ( a^{\frac{1}{2}}-b \right )}{a^{-\frac{1}{4}}\left ( a^{\frac{1}{4}-\sqrt{b}} \right )} \right )^{-\frac{1}{3}}:\left ( \sqrt[4]{a}+\sqrt{b} \right )^{-1}\)

Решение №16886: \(\left ( \frac{a+a^{\frac{3}{4}}a^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{3}{2}}+b^{2}}{a^{\frac{1}{2}}+2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{2}}+b}\left ( \sqrt[4]{a}+\sqrt{b} \right )+\frac{3\sqrt{b}\left ( a^{\frac{1}{2}}-b \right )}{a^{-\frac{1}{4}}\left ( a^{\frac{1}{4}-\sqrt{b}} \right )} \right )^{-\frac{1}{3}}:\left ( \sqrt[4]{a}+\sqrt{b} \right )^{-1}=\left ( \frac{\sqrt[4]{a^{4}}+\sqrt[4]{a^{3}}\sqrt{b}+\sqrt[4]{a}\sqrt{b^{3}}+\sqrt{b^{4}}}{\sqrt[4]{a^{2}}+2\sqrt[4]{a}\sqrt{b}+\sqrt{b^{2}}}\left ( \sqrt[4]{a}+\sqrt{b} \right )+\frac{3\sqrt{b}\left ( \sqrt[4]{a^{2}}-\sqrt{b^{2}} \right )}{\frac{1}{\sqrt[4]{a}}\left ( \sqrt[4]{a}-\sqrt{b} \right )} \right )^{-\frac{1}{3}}\left ( \sqrt[4]{a}+\sqrt{b} \right )=\left ( \frac{\left ( \sqrt[4]{a^{3}}+\sqrt{b^{3}} \right )\left ( \sqrt[4]{a}+\sqrt{b} \right )}{\sqrt[4]{a}+\sqrt{b}}+3\sqrt[4]{a^{2}}\sqrt{b}\left ( \sqrt[4]{a}+\sqrt{b} \right ) \right )^{-\frac{1}{3}}\cdot \left ( \sqrt[4]{a}+\sqrt{b} \right )=\left ( \sqrt[4]{a^{3}}+3\sqrt[4]{a^{2}}\sqrt{b}+3\sqrt[4]{a}\sqrt{b^{2}}+\sqrt{b^{3}} \right )^{-\frac{1}{3}}\left ( \sqrt[4]{a}+\sqrt{b} \right )=\left ( \sqrt[4]{a}+\sqrt{b} \right )^{-1}\left ( \sqrt[4]{a}+\sqrt{b} \right )=1\)

Ответ: 1