Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1.125

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 7.25

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: -7

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: -2

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 42

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 5.4

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 12

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 23/410

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {5/6;40/21}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 15

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 2\sqrt{5}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 0.125

Решение №7335: Выпишем несколько первых членов последовательности: \(1; 2; 2; 1; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1; 2; 2\). Ясно(и легко проверяется по индукции), что последовательность \(\left \{ a_{n} \right \} \)переодична и период равен 6, иначе говоря, \(\forall n\in N a_{n}=a_{n+6}. Тогда \left \{ \frac{1}{2}; 1; 2 \right \}\) - множество значений этой последовательности.

Ответ: \left \{ \frac{1}{2}; 1; 2 \right \}

Решение №7336: Из неравенства \(x_{n}=n^{2}-2n-1\geqslant -2\) следует, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) ограничена снизу. Так как множество значений квадратичной функции \(f\left ( x \right )=x^{2}-2x-1\) при натуральных значениях аргумента не ограничено сверху, то последовательность не ограничена сверху.

Ответ: NaN

Решение №7340: Для любого натурального n выполнено неравенство \(\left | \frac{\cos }{n} \right |=\frac{\left | \cos n \right |}{n}\leqslant \frac{1}{n}\leqslant 1\). Значит, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) ограниченная.

Ответ: NaN

Решение №7344: Доказано, что с помощью метода математической индукции, что при \(n\geqslant 4 2^{n}< n!\). Тогда \(\forall n\geqslant 4 0< x_{n}< 1\),т.е. последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)ограничена.

Ответ: NaN

Решение №7347: Необязательно ограничена. Например, \(x_{n}=\frac{1}{n} \)

Ответ: NaN

Решение №7350: Необязательно ограничена. Например, при \(x_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}\) получаем \(y_{n}=\sqrt{n} \)

Ответ: NaN

Решение №7353: Так как последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) и \(\left \{ y_{n} \right \}\)ограничены, существуют такие числа A и B, что \(\forall n\in N \left ( \left | x_{n} \right |\leqslant A \right )\wedge \left ( \left | y_{n} \right |\leqslant B \right ) \) Неравенства \(\left | x_{n}-y_{n} \right |\leqslant \left | x_{n} \right |+\left | y_{n} \right |\leqslant A+B\) показывают, что последовательность \(z_{n}=x_{n}+y_{n}\) обязательно ограничена.

Ответ: NaN

Решение №7355: Так как последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) ограничены, существуют такие числа A и B, что \(\forall n\in N \left ( \left | x_{n} \right |\leqslant A \right )\wedge \left ( \left | y_{n} \right |\leqslant B \right )\) Каждый член последовательности по модулю не превосходит 2, поэтому последовательность ограничена независимо от ограниченности исходных последовательностей.

Ответ: NaN

Решение №7358: Рассмотрим функцию \(f\left ( x \right )=-x^{2}+3x+4\). Абцисса вершины параболы \(x_{0}=\frac{3}{2}> 1\), следовательно, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывающая, начиная с n=2. При этом \(x_{1}=x_{2}=6\), поэтому можно утверждать, что последовательность убывает на множетве N, но нестрого.

Ответ: NaN

Решение №7363: Последовательность с общим членом \(x_{n}=1+\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}\) убывает, так как убывает функция \(f\left ( x \right )=\left ( \frac{1}{3} \right )^{x} \)

Ответ: NaN

Решение №7370: Докажем, что \(\lim n \to \frac{\sin n}{n}=0\). Заметим, что \(\left | \frac{\sin n}{n} \right |\leqslant \frac{1}{n}\). Тогда, взяв \(N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\varepsilon } \right ]+1\), получим, что неравенство \(\left | \frac{\sin n}{n} \right |< \varepsilon выполнено для всех n> N_{\varepsilon } \)

Ответ: NaN

Решение №7377: а) \(x_{n}=-n б) x_{n}=0\). Предел не может быть равен 1. Множеством взможных пределов последовательноти \(\left \{ x_{n} \right \} \)является луч \(\left ( -\propto ;0 \right ]\). 1) Допустим, что предел последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) равен 1, тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists k\in N: \forall n\geqslant k 1-\varepsilon < x_{n}< \varepsilon +1\). В силу произвольного выбор \(\varepsilon\) возьмем \(\varepsilon _{1}=1-\varepsilon > 0\) и тогда, начиная с некоторого нормера, \(x_{n}> \varepsilon _{1}\). Получили противоречие, значит,наше предположение было неверным. 2) Действительно, любое неположительное число a является пределом последовательности, каждый член которой равен a, удовлетворяющей условию задачи. Кроме того, рассуждение, повторяющее пункт 1 с заменой 1 на произвольное положительное число, показывает, что никакое положительное число не может быть пределом последовательности, удовлетворяющей условию задачи.

Ответ: NaN

Решение №7380: Пусть \(\left \{ a_{n} \right \}\)- последовательность вида 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 0; 1; ... . Тогда последовательность \(\left \{ n^{2}a_{n}a_{n+1} \right \}\) состоит из одних нулей и сходится, а последовательноть \(\left \{ n^{2}a_{n}a_{n+3} \right \}\) будет иметь вид 0; 0; 9; 0; 0; 36; ... ,т.е. расходится.

Ответ: Необязательно сходится

Решение №7394: \( x_{n}=\sqrt{n^{2}+n}; y_{n}=-n\)

Ответ: NaN

Решение №7396: \( x_{n}=\left ( -1 \right )^{n}; y_{n}=n\)

Ответ: NaN

Решение №7405: \( x_{n}=\frac{1}{n+1}, y_{n}=\frac{1}{n} \)

Ответ: NaN

Решение №7418: Пусть \(\sqrt{x_{n}}=\sqrt{a}+\alpha _{n}\). Заметим, что \(\alpha =\sqrt{x_{n}}-\sqrt{a}=\frac{x_{n}-a}{\sqrt{x_{n}}+\sqrt{a}}\), и получим \)\left | \alpha_{n} \right |< \frac{\left | x_{n} -a\right |}{\sqrt{a}}\). Пусть дано произвольное число \(\varepsilon > 0\). Так как последовательность \(\left \{ x_{n}-a \right \}\) бесконечно малая, то, начиная с некоторого номера n=k, будет выполняться неравенство \(\left | x_{n}-a \right |< \varepsilon \sqrt{a}\). Следовательно, при \(n\geqslant k\) будет выполняться неравенство \(\left | \alpha _{n} \right |< \varepsilon\) , а значит \lim_{ n \to \propto} \alpha _{n}=0. Тогда \lim_{n \to \propto} \sqrt{x_{n}}=\sqrt{a} \)

Ответ: NaN

Решение №7422: 1; 0

Ответ: NaN