Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Впишите в окружность прямоугольный треугольник, катеты которого проходили бы через две данные точки.

Решение №16064: Пусть \(A\) и \(B\) — данные точки внутри данной окружности (рис. 147). Поскольку отрезок \(AB\) виден из вершины прямого угла искомого прямоугольного треугольника под прямым углом, эта вершина лежит на окружности с диаметром \(AB\).

Ответ: NaN

Дана окружность и две неравные параллельные хорды. Используя только линейку, разделите эти хорды пополам.

Решение №16065: Пусть \(AB\) и \(CD\) — данные хорды (рис. 148). Если прямые \(AD\) и \(BC\) пересекаются в точке \(M\), а прямые \(AC\) и \(BD\) — в точке \(N\), то прямая \(MN\) делит каждую из данных хорд пополам.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Основные свойства и определения круга,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую, на которой окружности высекают хорды, сумма которых наибольшая (центры окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды).

Решение №16066: Пусть \(M\) — общая точка окружностей с центрами \(O_{1}\) и \(O_{2}\) (рис. 153); прямая, проходящая через точку \(M\), пересекает окружности в точках \(A\) и \(B\) соответственно. Если \(P\) и \(Q\) — проекции точек \(O_{1}\) и \(O_{2}\) на эту прямую, то \(P\) — середина \(AM\), а \(Q\) — середина \(BM\). Тогда \(PQ = \frac{1}{2}AM + \frac{1}{2}BM = \frac{1}{2}AB \) и \(PQ\leqO_{1}O_{2}\), причем равенство достигается, если прямая \(AB\) перпендикулярна общей хорде двух окружностей.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Основные свойства и определения круга,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

На сторонах выпуклого четырехугольника как на диаметрах построены четыре окружности. Докажите, что общая хорда окружностей, построенных на двух соседних сторонах, параллельна общей хорде двух других окружностей.

Решение №16067: Окружности, построенные как на диаметрах на соседних сторонах четырехугольника, пересекаются на его диагонали, а их общая хорда перпендикулярна этой диагонали.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Основные свойства и определения круга,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

На сторонах выпуклого четырехугольника как надиаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырехугольник.

Решение №16068: Если внутренняя точка четырехугольника не лежит ни в одном круге, то все стороны четырехугольника видны из нее под острым углом.

Ответ: NaN

Упростить выражение \(\left ( \left ( \frac{x}{y-x} \right )^{-2}-\frac{\left ( x+y \right )^{2}-4xy}{x^{2}-xy} \right )^{2}\cdot \frac{x^{4}}{x^{2}y^{2}-y^{4}}\)

Решение №16069: \(\left ( \left ( \frac{x}{y-x} \right )^{-2}-\frac{\left ( x+y \right )^{2}-4xy}{x^{2}-xy} \right )^{2}\cdot \frac{x^{4}}{x^{2}y^{2}-y^{4}}=\left ( \frac{\left ( y-x \right )^{2}}{x^{2}}-\frac{x^{2}+2xy+y^{2}-4xy}{x\left ( x-y \right )} \right )^{2}\cdot \frac{x^{4}}{y^{2}\left ( x^{2}-y^{2} \right )}=\left ( \frac{y^{2}-2xy+x^{2}}{x^{2}}-\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{x\left ( x-y \right )} \right )^{2}\cdot \frac{x^{4}}{y^{2}\left ( x^{2}-y^{2} \right )}=\left ( \frac{y^{2}-2xy+x^{2}-x^{2}+xy}{x^{2}} \right )^{2}\cdot \frac{x^{4}}{y^{2}\left ( x^{2}-y^{2} \right )}=\frac{y^{2}\left ( y-x \right )^{2}}{x^{4}}\cdot \frac{x^{4}}{y^{2}\left ( x^{2}-y^{2} \right )}=\frac{x-y}{x+y}\)

Ответ: \(\frac{x-y}{x+y}\)

Упростить выражение \(\left ( \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b+c} \right ):\left ( \frac{1}{a}-\frac{1}{b+c} \right ) \right ):\left ( 1+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \right )\)

Решение №16070: \(\left ( \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b+c} \right ):\left ( \frac{1}{a}-\frac{1}{b+c} \right ) \right ):\left ( 1+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \right )=\left ( \frac{a+b+c}{a\left ( b+c \right )}:\frac{-a+b+c}{a\left ( b+c \right )} \right ):\frac{2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{a+b+c}{-a+b+c}\cdot \frac{2bc}{\left ( b+c \right )^{2}-a^{2}}=\frac{2\left ( a+b+c \right )bc}{\left ( -a+b+c \right )\left ( b+c-a \right )\left ( b+c+a \right )}=\frac{2bc}{\left ( -a+b+c \right )^{2}}=\frac{2\cdot 0.625\cdot 3.2}{\left ( -1\frac{33}{40}+0.625+3.2 \right )^{2}}=\frac{4}{\left ( -1.825+3.825 \right )^{2}}=\frac{4}{4}=1\)

Ответ: 1

Упростить выражение \(\left ( \left ( \frac{x^{2}}{y^{3}}+\frac{1}{x} \right ):\left ( \frac{x}{y^{2}}-\frac{1}{y}+\frac{1}{x} \right ) \right ):\frac{\left ( x-y \right )^{2}+4xy}{1+\frac{y}{x}}\)

Решение №16071: \(\left ( \left ( \frac{x^{2}}{y^{3}}+\frac{1}{x} \right ):\left ( \frac{x}{y^{2}}-\frac{1}{y}+\frac{1}{x} \right ) \right ):\frac{\left ( x-y \right )^{2}+4xy}{1+\frac{y}{x}}=\left ( \frac{x^{3}+y^{3}}{xy^{3}}:\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{xy^{2}} \right ):\frac{-\left ( x^{2}-2xy+y^{2}+4xy \right )x}{x+y}=\left ( \frac{\left ( x+y \right )\left ( x^{2}-xy+y^{2} \right )}{xy^{3}}\cdot \frac{xy^{2}}{x^{2}-xy+y^{2}} \right ):\frac{\left ( x+y \right )^{2}x}{x+y}=\frac{x+y}{y}\cdot \frac{1}{\left ( x+y \right )x}=\frac{1}{xy}\)

Ответ: \(\frac{1}{xy}\)

Упростить выражение \(\left ( \frac{3}{2x-y}-\frac{2}{2x-y}-\frac{1}{2x-5y} \right ):\frac{y^{2}}{4x^{2}-y^{2}}\)

Решение №16072: \(\left ( \frac{3}{2x-y}-\frac{2}{2x-y}-\frac{1}{2x-5y} \right ):\frac{y^{2}}{4x^{2}-y^{2}}=\left ( \frac{3\left ( 2x-y \right )-2\left ( 2x-y \right )}{\left ( 2x-y \right )\left ( 2x+y \right )}-\frac{2}{2x-5y} \right ):\frac{y^{2}}{4x^{2}-y^{2}}=\left ( \frac{6x+3y-4x+2y}{4x^{2}-y^{2}}-\frac{1}{2x-5y} \right )\cdot \frac{4x^{2}-y^{2}}{y^{2}}=\frac{-24y^{2}}{\left ( 2x-5y \right )y^{2}}=\frac{24}{5y-2x}\)

Ответ: \(\frac{24}{5y-2x}\)

Упростить выражение \(\left ( x^{2}+2x-\frac{11x-2}{3x+1} \right ):\left ( x+1-\frac{2x^{2}+x+2}{3x+1} \right )\)

Решение №16073: \(\left ( x^{2}+2x-\frac{11x-2}{3x+1} \right ):\left ( x+1-\frac{2x^{2}+x+2}{3x+1} \right )=\frac{3x^{3}+6x^{2}+x^{2}+2x-11x+2}{3x+1}:\frac{3x^{2}+3x+x+1-2x^{2}-x-2}{3x+1}=\frac{3x^{3}+7x^{2}-9x+2}{3x+1}\cdot \frac{3x+1}{x^{2}+3x-1}=\frac{3x^{3}+7x^{2}-9x+2}{x^{2}+3x-1}=\frac{3x^{3}+9x^{2}-3x-2x^{2}-6x+2}{x^{2}+3x-1}=\frac{3x\left ( x^{2}+3x-1 \right )-2\left ( x^{2}+3x-1 \right )}{x^{2}+3x-1}=\frac{\left ( x^{2}+3x-1 \right )\left ( 3x-2 \right )}{x^{2}+3x-1}=3x-2=3\cdot 7.(3)-2=3\cdot 7\frac{3}{9}-2=22-2=20\)

Ответ: 20