Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Сколько точек пересечения могут иметь четыре прямые, каждые две из которых пересекаются?

Решение №15964: Возможны следующие случаи (рис. 58): 1) все четыре прямые проходят через одну точку; 2) три прямые проходят через одну точку, а четвёртая прямая пересекает их в трёх других точках; З) никакие три прямые не проходят через одну точку.

Ответ: Одну, четыре или шесть.

Сколько точек пересечения могут иметь пять прямых, каждые две из которых пересекаются?

Решение №15965: Возможны следующие случаи (рис. 59): 1) все пять прямых проходят через одну точку; 2) четыре прямые проходят через одну точку, а пятая прямая не проходит через эту точку; З) три прямые проходят через одну точку, а две оставшиеся прямые через эту точку не проходят, но точка пересечения этих двух прямых лежит на одной из трёх первых прямых; 4) три прямые проходят через одну точку, а две оставшиеся прямые через эту точку не проходят, причём точка пересечения этих двух прямых не лежит ни на одной из трёх первых прямых; 5) никакие три прямые не проходят через одну точку.

Ответ: Одну, пять, шесть, восемь или десять.

На плоскости отметили три точки и через каждые две из них провели прямую. Сколько при этом могло получиться прямых?

Решение №15966: Возможны два случая: 1) точки лежат на одной прямой; 2) точки не лежат на одной прямой.

Ответ: 1 или 3.

На плоскости отметили четыре точки и через каждые две из них провели прямую. Сколько при этом могло получиться прямых?

Решение №15967: Возможны следующие случаи (рис. ниже): 1) точки лежат на одной прямой; 2) три точки лежат на одной прямой, а четвёртая точка не лежит на этой прямой; З) никакие три из данных точек не лежат на одной прямой.

Ответ: 1, 4 или 6.

На плоскости отметили пять точек и через каждые две из них провели прямую. Сколько при этом могло получиться прямых?

Решение №15968: Возможны следующие случаи (рис. ниже): 1) все пять точек лежат на одной прямой; 2) четыре точки лежат на одной прямой, а пятая не лежит на этой прямой; З) три точки лежат на одной прямой, а две оставшиеся точки не лежат на одной прямой, но содержащая их прямая проходит через одну из трёх первых точек; 4) три точки лежат на одной прямой, а две оставшиеся точки не лежат на одной прямой, причём содержащая их прямая не проходит ни через одну из трёх первых точек; 5) никакие три точки не лежат на одной прямой.

Ответ: 1, 5, 6, 8 или 10.

В каком наибольшем числе точек могут пересекаться шесть прямых?

Решение №15969: Из шести прямых можно составить 15 пар.

Ответ: В 15 точках.

В каком наибольшем числе точек могут пересекаться п прямых?

Решение №15970: Первую прямую можно выбрать п способами, после этого вторую прямую можно выбрать n — 1 способом. При этом каждую точку пересечения прямых мы посчитаем дважды.

Ответ: В \(\frac{n\left ( n-1 \right )}{2}\)

На прямой отметили четыре точки. Сколько получилось отрезков с концами в этих точках?

Решение №15971: Из четырёх точек можно составить 6 пар.

Ответ: 6.

На прямой отметили n точек. Сколько получилось отрезков с концами в этих точках?

Решение №15972: Один конец отрезка можно выбрать п способами, после этого другой конец отрезка можно выбрать n — 1 способом. При этом каждый отрезок мы посчитаем дважды.

Ответ: \(\frac{n\left ( n-1 \right )}{2}\)

Точки \(А\), \(В\), \(С\) и \(D\) попарно различны, точки \(А\), \(В\) и \(С\) лежат на одной прямой, точки \(В\), \(С\) и \(D\) лежат на одной прямой. Докажите, что точки \(А\), \(В\), \(С\) и \(D\) лежат на одной прямой.

Решение №15973: Точки \(А\) и \(D\) лежат на прямой \(ВС\).

Ответ: NaN