Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Решить уравнения: \( 4^{2\log _{8}\left ( 2x-2 \right )}*0.25^{\log _{8}\left (2x-3 \right )}=\sqrt[3]{16} \)

Решение №15722: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2x-2> 0 & & \\ 2x-3> 0 & & \end{matrix}\right. x> \frac{3}{2} \) Имеем \( 4^{2\log _{8}\left ( 2x-2 \right )}*4^{-\log _{8}\left (2x-3 \right )}=4^{\frac{2}{3}}, 4^{2\log _{8}\left ( 2x-2 \right )-\log _{8}\left (2x-3 \right )}=4^{\frac{2}{3}}, 2\log _{8}\left ( 2x-2 \right )-\log _{8}\left (2x-3 \right )=\frac{2}{3}, \log _{8}\frac{\left ( 2x-2 \right )^{2}}{\left (2x-3 \right )}=4, x^{2}-4x+4=0, \left ( x-2 \right )^{2}=0 \), откуда \( x=2 \)

Ответ: 2

Решить уравнения: \( \log _{2}\left ( 4x+4 \right )=x+\log _{2}\left ( 2^{x+1}-3 \right ) \)

Решение №15723: ОДЗ: \( 2^{x+1}-3> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( \log _{2}\left ( 2^{2x}+4 \right )-\log _{2}\left ( 2*2^{x}-3 \right )=x, \log _{2}\frac{2^{2x}+4}{2*2^{x}-3}=x, \frac{2^{2x}+4}{2*2^{x}-3}=2^{x}, 2^{2x}-3*2^{x}-4=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), получаем \( 2^{x}=-1, \varnothing \); или \( 2^{x}=4 \), откуда \( x=2 \)

Ответ: 2

Решить уравнения: \( \log _{a^{2}}x^{2}+\log _{a}\left (x-1 \right )=\log _{a}\log _{\sqrt{5}}5 \)

Решение №15724: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 1, & & \\ 0< a\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Из условия имеем \( \log _{a}x+\log _{a}\left ( x-1 \right )=\log _{a}2 \Rightarrow \log _{a}x\left ( x-1 \right )=\log _{a}2 \), откуда \( x^{2}-x-2=0 \Rightarrow x_{1}=2, x_{2}=-1; x_{2}=-1 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 2

Решить уравнения: \( x^{2}*\log _{x}27*\log _{9}x=x+4 \)

Решение №15725: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 3, тогда \( \frac{3x^{2}}{\log _{3}x}*\frac{\log _{3}x}{2}=x+4 \Leftrightarrow 3x^{2}-2x-8=0 \), откуда \( x_{1}=2, x_{2}=-\frac{4}{3}; x_{2}=-\frac{4}{3} \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 2

Решить уравнения: \( \left ( \frac{3}{5} \right )^{2\log_{9}\left ( x+1 \right )}*\left ( \frac{125}{27} \right )^{\log_{1/27}\left ( x-1 \right )}=\frac{\log_{5}27}{\log_{5}243} \)

Решение №15726: ОДЗ: \( x> 1 \) Из условия имеем \( \left ( \frac{3}{5} \right )^{\log_{3}x+1}*\left ( \frac{3}{5} \right )^{\log_{3}x-1}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow \left ( \frac{3}{5} \right )^{\log_{3}\left ( x+1 \right )+\log_{3}\left ( x-1 \right )}=\frac{3}{5} \Rightarrow \log_{3}\left ( x+1 \right )+\log_{3}\left ( x-1 \right )=1 \Rightarrow \log_{3}\left ( x^{2}-1 \right )=1, x^{2}-1=3, x^{2}=4 \) Отсюда \( x_{1}=-2, x_{2}=2; x_{1}=-2 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 2

Решить уравнения: \( \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )+\log_{5x+3}\left ( 3x+7 \right )=2 \)

Решение №15727: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< 5x+3\neq 1, & & \\ 0< 3x+7\neq 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x> -\frac{3}{5}, x\neq -\frac{2}{5} \) Умножив уравнение на \( \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right \)neq 0 \), получим \( \log_{3x+7}^{2}\left ( 5x+3 \right )-2\log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )+1=0 \Leftrightarrow \left ( \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )-1 \right )^{2}=0 \Leftrightarrow \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )=1 \Leftrightarrow 5x+3=3x+7, x=2 \)

Ответ: 2

Решить уравнения: \( \log _{2}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{\log _{2}x}=\frac{4}{3} \)

Решение №15728: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия имеем \( \frac{1}{3}\log _{2}x+\sqrt[3]{\log _{2}x}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow \log _{2}x+3\sqrt[3]{\log _{2}x}-4=0 \) Пусть \( \sqrt[3]{\log _{2}x}=y \) Относительно \( y \) уравнение принимает вид \( y^{3}-3y-4=0 \Leftrightarrow \left ( y^{3}-1 \right )+\left ( 3y-3 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+y+1 \right )+3\left ( y-1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+y+4 \right )=0 \), откуда \( y-1=0 \), так как \( y^{2}+y+4> 0 \) Тогда \( y=1, \sqrt[3]{\log _{2}x}=1, \log _{2}x=1, x=2\)

Ответ: 2

Решить уравнения: \( \log _{5}\left ( x-2 \right )+\log _{\sqrt{5}}\left ( x^{3}-2 \right )+\log _{0.2}\left ( x-2 \right )=4 \)

Решение №15729: ОДЗ: \( x-2> 0, x > 2 \) Из условия имеем \( \log _{5}\left ( x-2 \right )+2\log _{5}\left ( x^{3}-2 \right )-\log _{5}\left ( x-2 \right )=4, \log _{5}\left ( x^{3}-2 \right ) =2 \) , откуда \( x^{3}-2=25, x^{3}=27 \) Тогда \( x=3 \)

Ответ: 3

Решить уравнения: \( \lg \left ( 3^{x}-2^{4-x} \right )=2+0.25\lg 16-0.5x\lg 4 \)

Решение №15730: ОДЗ: \( 3^{x}-2^{4-x}> 0 \) . Из условия \( \lg \left ( 3^{x}-2^{4-x} \right )=\lg 100+\lg 2-\lg 2^{x}\Rightarrow \lg \left ( 3^{x}-2^{4-x} \right )=\lg \frac{100*2}{2^{x}}, 3^{x}-2^{4-x}=\frac{200}{2^{ x}} \) . Отсюда \( 6^{x}=216 \), откуда \( x=3 \) .

Ответ: 3

Найти натуральное число \( n \) из равенства \( 3^{2} *3^{5} *3^{8}... 3^{ 3n -1}= 27^{5} \)

Решение №15731: \( 3^{2+5+8+...+3n-1}=3^{15} , 2+5+8+...3n-1=15 \) В левой части уравнения имеем сумму членов арифметической прогресии \( S_{k} \), где \( a_{1}=2 , d=3 , a_{k}=3n-1 , k=\frac{a_{k}-a_{1}}{d}+1=\frac{3n-1-2}{3}+1 = n \) Тогда \( S_{k}=\frac{a_{1}+a_{k}}{2}*k=\frac{2+3n-1}{2} *n= \frac{ 3n^{ 2} +n}{ 2} \), и уравнение принимает вид \( \frac{ 3n^{ 2} +n}{ 2}=15, 3n^{2}+n-30=0 \) , откуда \( n = 3 \)

Ответ: 3