Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13806: \( x=\frac{a}{x}+b\Leftrightarrow x=\frac{b+\sqrt{b^{2}+4a}}{2}, \lim_{ n \to \propto} x_{n}=\frac{b+\sqrt{b^{2}+4a}}{2} \)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13807: Если \(x_{1}=a\), то \(x_{2}=\cos a, x_{3}=\cos \left ( \cos a \right )\),так как \(-1\leqslant \cos a\leqslant 1, x_{3}\in \left ( 0; 1 \right )\). Более того, начиная с n = 3, все члены последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) принадлежат интервалу \(\left ( 0; 1 \right )\), где косинус убывает. Таким образом, последовательность удовлетворяет , а тогда последовательности \(\left \{ x_{2n-1} \right \} и \left \{ x_{2n} \right \}\) монотонны и ограниченны, т. е. имеют пределы. Осталось показать, что эти пределы равны. Заметим, что \(\left \{ x_{2n-1} \right \} =\cos \left ( \cos x_{2n-1} \right ) x_{2n+2}=\cos \left ( \cos x_{2n} \right )\). Переходя к пределу в обеих частях равенства , получаем, что оба предела являются корнями уравнения \(x=\cos \left ( \cos x \right )\). Покажем, что уравнение \(x=\cos \left ( \cos x \right )\) имеет один корень. Пусть этих корней два: \(x_{1}\neq x_{2}\). Тогда\(\left | x_{1}-x_{2} \right |=2\left | \sin \frac{\cos x_{1}+\cos x_{2}}{2} \right |*\left | \sin \frac{\cos x_{2}-\cos x_{1}}{2} \right |\leqslant 2\left | \frac{\left ( \cos x_{2} -\cos x_{1}\right )}{2} \right |=2\left | \sin \frac{x_{1}-x_{2}}{2} \right |*\left | \sin \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right |\leqslant x_{1}-x_{2}\). Противоречия можно избежать, только если вместо знаков неравенства всюду стоят знаки равенства, что возможно лишь при \(\left | x_{1}+x_{2} \right |=0\) (использовано неравенство \(\left | \sin x \right |\leqslant \left | x \right |\), верное при всех значениях x и обращающееся в равенство при x = 0, и то, что \(\left | \sin x \right |\leqslant 1.\)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13809: \( x_{1}\notin \left ( 0;1 \right )\), например \(x_{1}\in \left ( 1; 2 \right )\). Тогда снова \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=1\). Если \(x_{1}< 0\), то последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывающая и не ограничена снизу и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=-\propto\) . Если \(x_{1}> 2\), то всё сводится к случаю \(x_{1}< 0\) Вообще говоря, можно заметить, что если существует \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=A, A=0\) или A=1, но при \(x_{1}> 2 A\neq 0 A\neq 1.\)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13812: Заметим, что последовательность отличается от последовательности из задания а на \(\frac{1}{n} \) , значит, имеет тот же предел. При этом, так как \(a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}< \frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=0\) последовательность возрастает. Её предел больше \(a_{2}=\frac{1}{12}> \frac{1}{2} . \)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13813: Подстановка \(x_{n}=2\sin a_{n} \) дает \(x_{n+1}=2\sin \frac{a_{n}}{2}\). Поэтому \(x_{n}=2\sin \frac{a_{1}}{2^{n-1}}\). Поскольку \(\lim_{n \to \propto} \frac{a_{1}}{2^{n-1}}=0\), то получаем \(\lim){n \to \propto} x_{n}=0. \)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13817: Если предел последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \)не равен 0, то\(\lim_{n \to \propto} \left ( nx_{n} +2\right )=\propto\) , в то время как он должен быть равен пределу последовательности\(\left \{ x_{n+1} \right \}\), т. е. числу.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13818: Пусть \(c=\frac{p}{q} \)— несократимая дробь. Тогда все члены последовательности будут иметь знаменатель, не больший q. Заметим, что в последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \) могут совпасть не более двух членов. Последовательность чисел, знаменатели которых не больше q, не может иметь предела, поскольку в любом интервале таких чисел содержится лишь конечное количество. Как будет показано ниже, при рациональном с члены последовательности, начиная с некоторого номера, становятся целыми числами.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13820: Рассмотрим наибольшее из чисел. Пусть этим числом является а. Тогда из условия следует, что при всех натуральных n выполнено неравенство \(a^{n}< b^{n}+c^{n}\). Поделим обе части неравенства на \(a^{n}\). Получим неравенство \(\left ( \frac{b}{a} \right )^{n+\left ( \frac{c}{a} \right )^{n}}> 1\), верное при всех натуральных n. Если а не равно ни одному из чисел b и с, то \(\frac{b}{a}< 1, \frac{c}{a}< 1\), а тогда \(\lim_{n \to \propto} \left ( \left ( \frac{b}{a} \right )^{n}+\left ( \frac{c}{a} \right )^{n} \right )=0\), что противоречит неравенству.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13821: Идея решения этой задачи схожа с идеей решения предыдущей. Пусть \(a_{1}, ... , a_{k}\) — данные числа. Пусть \(a_{1}\)— число с максимальным модулем. Из условия получаем равенство \( 1+\left ( \frac{a_{2}}{a_{1}} \right )^{n}+...+\left ( \frac{a_{k}}{a_{1}} \right )^{n}=0\) верное при всех натуральных нечётных n. Если среди записанных в равенстве дробей нет дроби, по модулю равной 1, то, устремляя n к бесконечности, получаем предел левой части равным 1, что противоречит равенству (3). Значит, среди таких дробей есть равные 1 и −1. Сумма дробей, имеющих модуль 1, должна быть равна 0, поскольку остальные дроби «уйдут в 0» при нахождении предела. Значит, среди исходных чисел было поровну равных а1 и −а1. Поскольку сумма всех чисел с наибольшим модулем в нечётных степенях будет равна 0, для оставшихся чисел условие задачи будет выполнено, и то же самое рассуждение можно проделать ещё несколько раз.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13823: \( a_{1}= 2\), таким образом, из возрастания последовательности \(\left \{ a_{n} \right \}\) следует, что при n > 1 выполнено \(a_{n} > 2\). Второе неравенство следует из того, что \(a_{n} < е\), поскольку e является пределом возрастающей последовательности, который, как следует из доказательства теоремы Вейерштрасса, является её супремумом. В свою очередь, е < 3.
Ответ: NaN