Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Исследуйте на сходимость последовательность\( x_{1}> 0, x_{n+1}=\frac{a}{x_{n}}+b, a> 0, b> 0, n\in N\)

Решение №13806: \( x=\frac{a}{x}+b\Leftrightarrow x=\frac{b+\sqrt{b^{2}+4a}}{2}, \lim_{ n \to \propto} x_{n}=\frac{b+\sqrt{b^{2}+4a}}{2} \)

Ответ: NaN

Исследуйте на сходимость последовательность\( x_{1}=a, x_{n+1}=\cos x_{n}\)

Решение №13807: Если \(x_{1}=a\), то \(x_{2}=\cos a, x_{3}=\cos \left ( \cos a \right )\),так как \(-1\leqslant \cos a\leqslant 1, x_{3}\in \left ( 0; 1 \right )\). Более того, начиная с n = 3, все члены последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) принадлежат интервалу \(\left ( 0; 1 \right )\), где косинус убывает. Таким образом, последовательность удовлетворяет , а тогда последовательности \(\left \{ x_{2n-1} \right \} и \left \{ x_{2n} \right \}\) монотонны и ограниченны, т. е. имеют пределы. Осталось показать, что эти пределы равны. Заметим, что \(\left \{ x_{2n-1} \right \} =\cos \left ( \cos x_{2n-1} \right ) x_{2n+2}=\cos \left ( \cos x_{2n} \right )\). Переходя к пределу в обеих частях равенства , получаем, что оба предела являются корнями уравнения \(x=\cos \left ( \cos x \right )\). Покажем, что уравнение \(x=\cos \left ( \cos x \right )\) имеет один корень. Пусть этих корней два: \(x_{1}\neq x_{2}\). Тогда\(\left | x_{1}-x_{2} \right |=2\left | \sin \frac{\cos x_{1}+\cos x_{2}}{2} \right |*\left | \sin \frac{\cos x_{2}-\cos x_{1}}{2} \right |\leqslant 2\left | \frac{\left ( \cos x_{2} -\cos x_{1}\right )}{2} \right |=2\left | \sin \frac{x_{1}-x_{2}}{2} \right |*\left | \sin \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right |\leqslant x_{1}-x_{2}\). Противоречия можно избежать, только если вместо знаков неравенства всюду стоят знаки равенства, что возможно лишь при \(\left | x_{1}+x_{2} \right |=0\) (использовано неравенство \(\left | \sin x \right |\leqslant \left | x \right |\), верное при всех значениях x и обращающееся в равенство при x = 0, и то, что \(\left | \sin x \right |\leqslant 1.\)

Ответ: NaN

Пусть \(0< x_{1}< 1, \forall n\in N x_{n+1}=x_{n}\left ( 2-x_{n} \right )\). Исследуйте последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) на сходимость, если \(x_{1}\notin \left ( 0; 1 \right ) \)

Решение №13809: \( x_{1}\notin \left ( 0;1 \right )\), например \(x_{1}\in \left ( 1; 2 \right )\). Тогда снова \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=1\). Если \(x_{1}< 0\), то последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывающая и не ограничена снизу и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=-\propto\) . Если \(x_{1}> 2\), то всё сводится к случаю \(x_{1}< 0\) Вообще говоря, можно заметить, что если существует \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=A, A=0\) или A=1, но при \(x_{1}> 2 A\neq 0 A\neq 1.\)

Ответ: NaN

Докажите, что последовательность имеет предел, больший\( \frac{1}{2}\) и меньший 1: \(a_{n}=\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\)

Решение №13812: Заметим, что последовательность отличается от последовательности из задания а на \(\frac{1}{n} \) , значит, имеет тот же предел. При этом, так как \(a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}< \frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=0\) последовательность возрастает. Её предел больше \(a_{2}=\frac{1}{12}> \frac{1}{2} . \)

Ответ: NaN

Пусть \(x_{1}=a, 0< a\leq 2, x_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-x_{n}^{2}}}, n\in N\). Докажите, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)сходится

Решение №13813: Подстановка \(x_{n}=2\sin a_{n} \) дает \(x_{n+1}=2\sin \frac{a_{n}}{2}\). Поэтому \(x_{n}=2\sin \frac{a_{1}}{2^{n-1}}\). Поскольку \(\lim_{n \to \propto} \frac{a_{1}}{2^{n-1}}=0\), то получаем \(\lim){n \to \propto} x_{n}=0. \)

Ответ: NaN

Последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) задана формулой\( x_{n}=nx_{n-1}+2, x_{0}=c\). Докажите, что если последовательность\( \left \{ x_{n} \right \}\) сходящаяся, то она стремится к 0.

Решение №13817: Если предел последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \)не равен 0, то\(\lim_{n \to \propto} \left ( nx_{n} +2\right )=\propto\) , в то время как он должен быть равен пределу последовательности\(\left \{ x_{n+1} \right \}\), т. е. числу.

Ответ: NaN

Последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)задана формулой \(x_{n}=nx_{n-1}+2, x_{0}=c.\) Докажите, что если число c рационально, то эта последовательность не имеет предела.

Решение №13818: Пусть \(c=\frac{p}{q} \)— несократимая дробь. Тогда все члены последовательности будут иметь знаменатель, не больший q. Заметим, что в последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \) могут совпасть не более двух членов. Последовательность чисел, знаменатели которых не больше q, не может иметь предела, поскольку в любом интервале таких чисел содержится лишь конечное количество. Как будет показано ниже, при рациональном с члены последовательности, начиная с некоторого номера, становятся целыми числами.

Ответ: NaN

Пусть a, b и c - такие положительные числа, что при всех натуральных n существует треугольник со сторонами \(a^{n}, b^{n}, c^{n}\). Докажите, что все такие треугольники являются равнобедренными.

Решение №13820: Рассмотрим наибольшее из чисел. Пусть этим числом является а. Тогда из условия следует, что при всех натуральных n выполнено неравенство \(a^{n}< b^{n}+c^{n}\). Поделим обе части неравенства на \(a^{n}\). Получим неравенство \(\left ( \frac{b}{a} \right )^{n+\left ( \frac{c}{a} \right )^{n}}> 1\), верное при всех натуральных n. Если а не равно ни одному из чисел b и с, то \(\frac{b}{a}< 1, \frac{c}{a}< 1\), а тогда \(\lim_{n \to \propto} \left ( \left ( \frac{b}{a} \right )^{n}+\left ( \frac{c}{a} \right )^{n} \right )=0\), что противоречит неравенству.

Ответ: NaN

Множество нулевых чисел таково, что сумма n-х степеней этих чисел равно 0 при всех нечетных натуральных n. Докажите, что данное множество можно представить как объединение пар противоположных чисел

Решение №13821: Идея решения этой задачи схожа с идеей решения предыдущей. Пусть \(a_{1}, ... , a_{k}\) — данные числа. Пусть \(a_{1}\)— число с максимальным модулем. Из условия получаем равенство \( 1+\left ( \frac{a_{2}}{a_{1}} \right )^{n}+...+\left ( \frac{a_{k}}{a_{1}} \right )^{n}=0\) верное при всех натуральных нечётных n. Если среди записанных в равенстве дробей нет дроби, по модулю равной 1, то, устремляя n к бесконечности, получаем предел левой части равным 1, что противоречит равенству (3). Значит, среди таких дробей есть равные 1 и −1. Сумма дробей, имеющих модуль 1, должна быть равна 0, поскольку остальные дроби «уйдут в 0» при нахождении предела. Значит, среди исходных чисел было поровну равных а1 и −а1. Поскольку сумма всех чисел с наибольшим модулем в нечётных степенях будет равна 0, для оставшихся чисел условие задачи будет выполнено, и то же самое рассуждение можно проделать ещё несколько раз.

Ответ: NaN

Докажите, что \(\forall n\in N: 2< \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}< 3 \)

Решение №13823: \( a_{1}= 2\), таким образом, из возрастания последовательности \(\left \{ a_{n} \right \}\) следует, что при n > 1 выполнено \(a_{n} > 2\). Второе неравенство следует из того, что \(a_{n} < е\), поскольку e является пределом возрастающей последовательности, который, как следует из доказательства теоремы Вейерштрасса, является её супремумом. В свою очередь, е < 3.

Ответ: NaN