Решение №13789: При a=1 очевидно \(\lim_{n \to \propto}\frac{1}{n^{n}}=0\). При \(0< a< 1\) выполнены неравенства \(0< \left ( \frac{a}{n} \right )^{n}< \left ( \frac{1}{n} \right )^{n}\). Перейдя к пределу в неравенствах и воспользовавшись теоремой о сжатой последовательности, получим \(\lim_{n \to \propto}\left ( \frac{a}{n} \right )^{n}=0\). Если \(a< 0, то \lim_{n \to \propto}\left ( \frac{a}{n^{n}} \right )^{n}=\lim_{n \to \propto}\left ( -1 \right )\left ( \frac{-a}{n^{n}} \right )^{n}=0\) как произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную.

Ответ: 0

Решение №13791: Докажем, что \(\lim_{n \to \propto} \frac{a^{n}}{n!}=0 при a> 0\). Пусть натуральное число k> 2a, тогда при n> k будет выполнено \(\frac{a^{n}}{n!}=\frac{a}{1}*\frac{a}{2}*...*\frac{a}{n}=\left ( \frac{a}{1}*\frac{a}{2}*...*\frac{a}{k} \right )*\left ( \frac{a}{k+1}*\frac{a}{k+2}*...*\frac{a}{n} \right )< a^{k}\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-k}=\left ( 2a \right )^{k}\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}\). Так как \(\lim_{n \to \propto} \left ( \frac{1}{2} \right )^{n}=0\), то при достаточно большом n будет выполнено \(\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}< \frac{\varepsilon }{\left ( 2a \right )^{k}}\), и следовательно, \(\frac{a^{n}}{n!}< \varepsilon\) , а это значит , что \(\lim_{n \to \propto} \frac{a^{n}}{n!}=0\). Теперь отметим, что выполнено неравенство \(0<\frac{2^{n}}{\left ( n+2 \right )!} . Тогда \lim_{n \to \propto} \frac{2^{n}}{\left ( n+2 \right )!}=0\), а так как произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность, то \(\lim_{n \to \propto }\frac{\left ( -2 \right )^{n}}{\left ( n+2 \right )!}=\lim_{n \to \propto} \left ( -1 \right )^{n}\frac{2^{n}}{\left ( n+2 \right )!}=0 \)

Ответ: 0

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 0

Решение №13793: \( \lim_{n \to \propto}\frac{n*3^{n}+1}{n!+1}=\lim_{n \to \propto}\frac{\frac{3^{n}}{\left ( n+1 \right )!}+\frac{1}{n!}}{1+\frac{1}{n!}}=0 \)

Ответ: 0

Решение №13796: Если f — ограниченная функция, то \(\left \{ x_{n} \right \}\) — ограниченная последовательность, а в силу заданий а и б ещё и монотонная. Значит, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится по теореме Вейерштрасса.

Ответ: NaN

Решение №13797: Пусть \(x_{3}=f\left ( f\left ( x_{1} \right ) \right ) x_{5}=f\left ( f\left ( x_{3} \right ) \right )\). Если \(x_{1}< x_{3}, то \left \{ x_{2n-1} \right \}\) — возрастающая последовательность по предыдущей задаче, при этом \(x_{2}=f\left ( x_{1} \right ), x_{4}=f\left ( x_{3} \right )\) и так как \(x_{1}< x_{3}\), а f— убывающая функция, то \(x_{2}> x_{4}\), и т. д. Заметим, что здесь возможно единственное расположение точек\( x_{i}\) на оси \(x_{3}\in \left ( x_{1}; x_{2} \right )\).Действительно, \(x_{1} \) располагается слева от \(\left ( x_{2}; x_{3} \right ), x_{1}< x_{2}\). Так как f — убывающая функция, то \(x_{2}=f\left ( x_{1} \right )> f\left ( x_{2} \right )=x_{3}\). В результате последовательность \(\left \{ x_{2n-1} \right \}\) возрастающая и ограничена сверху \(x_{2}\), последовательность \(\left \{ x_{2n} \right \}\) убывающая и ограничена снизу \(x_{3}\). Если же \(x_{1}> x_{3} (x_{1} \)расположена справа от \(( \left ( x_{2}; x_{3} \right ))\), то \(x_{3}\in \left ( x_{2}; x_{1} \right ) \) и тогда последовательность \(\left \{ x_{2n-1} \right \} \)убывающая и ограничена снизу \(x_{2}.\)

Ответ: NaN

Решение №13798: Пусть \(x_{n+1}=x_{n}^{2}+3x_{n}+1. Тогда \forall n\in N x_{n+1}-x_{n}=x_{n}^{2}-2x_{n}+1=\left ( x_{n}+1 \right )^{2}\geqslant 0\). Таким образом, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастающая. Выясним, когда последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) ограничена. Рассмотрим график \(f\left ( x \right )=x^{2}+3x+1\). Ясно, что при \(x_{1}> -1\) последовательность \(left \{ x_{n} \right \}\) расходится, так как в силу неограниченности функции \(f x_{n+1}=x_{n}^{2}+3x_{n}+1 \) и его можно сделать сколь угодно большим. Аналогично при \(x_{2}< -2\) последовательность \(left \{ x_{n} \right \}\) неограниченная.

Ответ: NaN

Решение №13800: Заметим, что \(\forall n\in N x_{n}> 0\). Тогда используем то, что \(f\left ( x \right )=\frac{1}{1+x}\) убывает на\( \left [ 0; +\propto \right )\). Найдем несколько первых членов последовательности: \(x_{1}=1; x_{2}=\frac{1}{2}; x_{3}=\frac{2}{3}; x_{4}=\frac{3}{5}; x_{5}=\frac{5}{8}\). Нетрудно видеть, что последовательность \(\left \{ x_{2n} \right \}\), членами которой являются числа \(\frac{1}{2}; \frac{3}{5}; ...,\) возрастающая, а последовательность \(\left \{ x_{2n-1} \right \}\), членами которой являются числа 1; \(\frac{2}{3}; \frac{5}{8}; ... ,\) убывающая. Кроме того \(\forall n\in N x_{2n}< 1, x_{2n-1}> 0\). Тогда существуют \(\lim_{n \to \propto} x_{2n} и \lim_{n \to \propto} x_{2n-1}\). Покажем, что они равны: \(x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+x_{n-1}}}=\frac{1+x_{n-1}}{2+x_{n-1}}\). Эта формула связывает соседние члены в обеих последовательностях. Если в ней перейти к пределу, то получим \(A=\frac{1+A}{2+A},откуда A=\frac{\sqrt{5}-1}{2} (так как A> 0)\) Таким образом, \(\lim_{n \to \propto} x_{2n} \lim_{n \to \propto} x_{2n-1}=\lim_{n \to \propto} x_{n}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \)

Ответ: NaN

Решение №13802: Пусть \(\tau =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\). \(\tau \) - это предел в предположений, что он существует. Заметим, что \(x_{2}=\sqrt{1-x_{1}}> \sqrt{1-\tau }=\tau > x_{1}, x_{3}=\sqrt{1-x_{2}}> \sqrt{1-\tau }=\tau \). Выясним, верно ли, что \(x_{3}> x_{1}\), т.е. верно, что \(\sqrt{1-x_{2}}=\sqrt{1-\sqrt{1-x_{1}}}> x_{1}. 1-\sqrt{1-x_{1}}> x_{1}^{2}; \sqrt{1-x_{1}}< \left ( 1+x_{1} \right )\left ( 1-x_{1} \right ); \sqrt{1-x_{1}}\left ( 1+x_{1} \right )> 1\). Последнее неравенство верно, так как \(\sqrt{1-x_{2}}\leqslant 1-x_{1}\Leftrightarrow \sqrt{1-x_{1}}\geqslant 1\Leftarrow 0< x_{1}\leqslant \frac{\sqrt{5}-1}{2}\). Таким образом, \(x_{1}\notin \left ( x_{2}; x_{3} \right )\). Итак, последовательность \(\left \{ x_{2n-1} \right \}\) возрастающая и ограниченная сверху \(\tau\), а последовательность \(\left \{ x_{2n} \right \}\) убывающая и ограниченная снизу \tau и окончательно \(\lim_{n \to \propto} x_{2n-1}=\lim_{n \to \propto} x_{2n}=\lim_{n \to \propto} x_{n}=\tau .\)

Ответ: NaN

Решение №13804: \( x_{n+1}=\frac{1}{2}\left ( 1+\frac{1}{x_{n}} \right ); \lim_{n \to \propto} x_{n}=1 \)

Ответ: NaN