Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Покажите, что из существования предела суммы двух последовательностей\( \lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )\) не ледует существования хотя бы одного из пределов \(\lim_{n \to \propto} x_{n} \)или \(\lim_{n \to \propto} y_{n}\) (приведите соответствующие примеры) \)

Решение №13715: Например, \(\lim_{n \to \propto} \left ( \frac{2n^{2}+n}{3n-1} +\frac{6n^{3}+1}{1-9n^{2}}\right )=\frac{5}{9}\), но последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) для которых \(x_{n}=\frac{2n^{2}+n}{3n-1}\) и \(y_{n}=\frac{6n^{3}+1}{1-9n^{2}}\), расходятся.

Ответ: NaN

Докажите, что из одновременного существования \( \lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )\) и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\) следует существование предела\( \lim_{n \to \propto} y_{n}.\)

Решение №13716: \( \lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )-\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n}-x_{n} \right )=\lim_{n \to \propto} y_{n} \)

Ответ: NaN

Последовательность \( \left \{ x_{n} \right \}\) сходится , а последовательность \(\left \{ y_{n} \right \}\) расходится. Докажите, что при \(b\neq 0\) последовательность \(\left \{ ax_{n}+bx_{n} \right \}\) расходится.

Решение №13717: Пусть существует \(\lim_{n \to \propto} \left ( ax_{n}+bx_{n} \right ) \), тогда так как \(\exists \lim_{n \to \propto} x_{n}, \exists \lim_{n \to \propto} ax_{n}\). Рассмотрим \(\lim_{n \to \propto} \left ( ax_{n}+bx_{n} \right ) - \lim_{n \to \propto} \left ( ax_{n} \right )=\lim_{n \to \propto} by_{n}=b\lim n \to \propto y_{n}\), следовательно, последовательность \(\left \{ y_{n} \right \} \)сходится, что противоречит условию.

Ответ: NaN

Пусть \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) - бесконечно большие последовательности одного знака. Докажите, что тогда \(\left \{ x_{n}+y_{n} \right \} \)- бесконечно большаая последовательность того же знака. \)

Решение №13719: а) -1; б)\( \frac{1}{2}; в) 0; г) -\frac{1}{2}\)

Ответ: NaN

Известно, что \(\forall n\in N x_{n}\neq 1\) и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=1\). Найдите \(\lim_{n \to \propto} y_{n}\), если: \(y_{n}=\frac{2x_{n}-1}{x_{n}-2} \)

Решение №13720: 5 ;\(\frac{3}{5}\)

Ответ: NaN

Известно, что \(\forall n\in N x_{n}\neq 1\) и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=1\). Найдите \( \lim_{n \to \propto} y_{n}\), если: \(y_{n}=\frac{x_{n}^{2}-3x_{n}+2}{x_{n}^{2}-1}\)

Решение №13724: 1;

Ответ: NaN

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}=\frac{9+\frac{n}{n+1}}{2+\frac{1}{n}} \)

Решение №13725: \( \frac{\left ( -1 \right )^{n}+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^{2}}-\left ( -1 \right )^{n}}=\frac{1+\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}}{\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n^{2}}-1} \)

Ответ: -1

Найдите\( \lim_{n \to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}=\frac{n^{3}+27}{n^{4}-15} \)

Решение №13730: \( \lim_{n \to \propto}\left ( \frac{1+2+...+n}{n+2}-\frac{n}{2} \right )=\lim_{n \to \propto}\left ( \frac{\left ( n+1 \right )n}{2\left ( n+2 \right )}-\frac{n}{2} \right )=\lim_{n \to \propto}\frac{-n}{2n+4}=-\frac{1}{2} \)

Ответ: -\frac{1}{2}