Решение №13697: Пусть \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto} y_{n}=+\propto.\) По определению это означает, что\(\forall \varepsilon > 0 \exists K_{1}\in N: \forall n\geqslant K_{1}x_{n}> \frac{\varepsilon }{2} \forall \varepsilon > 0 \exists K_{2}\in N: \forall n\geqslant K_{2} y_{n}> \frac{\varepsilon }{2}\). Выберем \(K=max \left \{ K_{1}; K_{2} \right \}\), тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists K\in N: \forall n\geqslant K x_{n}+y_{n}> \varepsilon \), что и доказывает утверждение.

Ответ: NaN

Решение №13698: Рассмотрим, например, случай, когда \(\lim_{n \to \propto} y_{n}=-\propto \lim_{n \to \propto} x_{n}=+\propto\). Тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists K_{2}\in N: \forall n\geqslant K_{2} y_{n} < -\varepsilon < -\sqrt{\varepsilon }(-y_{n}> \sqrt{\varepsilon }) \forall \varepsilon > 1 \exists K_{1}\in N:\forall n\geqslant K_{1} x_{n}> \varepsilon > \sqrt{\varepsilon }\). Выберем \(K=max \left \{ K_{1}; K_{2} \right \}\), тогда \(\forall \varepsilon > 1 \exists K\in N: \forall n\geqslant K -x_{n}y_{n}> \varepsilon \),а значит, \(x_{n}y_{n}< -\varepsilon\). Таким образом, последовательность \(\left \{ x_{n}y_{n} \right \}\) бесконечно большая.

Ответ: NaN

Решение №13699: Если \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=A\), то, начиная с некоторого номера, \(x_{n}> \frac{A}{2}> 0\).Возьмем E> 0. Тогда \(\exists k_{1}\in N: \forall n\geqslant k_{1}x_{n}> \frac{A}{2} \exists k_{2}\in N:\forall n\geqslant k_{2}\left | y_{n} \right |\). Выберем \(k*=max \left \{ k_{1}; k_{2} \right \}\), тогда \(\forall n\geqslant k*\left | x_{n}y_{n} \right |=\left | x_{n} \right |\left | y_{n} \right |> \frac{A}{2}\frac{2E}{A}=E\). В силу произвольного выбора E получим, что \(\lim_{n \to \propto} x_{n}y_{n}=\propto \)

Ответ: NaN

Решение №13700: \Нет, например \(y_{n}=\frac{1}{n^{2}} x_{n}=n\)

Ответ: NaN

Решение №13703: По условию \(\forall n\in N\) выполнено \(x_{2_{n}}> x_{n}> 0\). Последовательно применяя это неравенство, получаем \(x_{2^{n}}> x_{1}> 0\), т. е. все члены последовательности с номерами, являющимися степенями двойки, будут больше \(x_{1}\). Таким образом, вне окрестности \(\left ( -x_{1}; x_{1} \right )\) окажется бесконечное множество членов последовательности.

Ответ: Нет

Решение №13704: \( x_{n}=\frac{1}{n^{2}}, y_{n}=n. \)

Ответ: NaN

Решение №13706: \( x_{n}=\frac{1}{2}, y_{n}=\frac{1}{n^{2}} \)

Ответ: NaN

Решение №13708: Нет, например \(x_{n}=\frac{1}{n^{2}}, y_{n}=\frac{1}{n} \)

Ответ: NaN

Решение №13711: \( x_{n}=\frac{1}{n^{2}}; y_{n}=n \lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}\neq 0 \)- условия для сходимости \(\left \{ y_{n} \right \}\)

Ответ: NaN

Решение №13714: \( x_{n}=\left ( \left ( -1 \right )^{n} +1\right ) \)

Ответ: NaN