Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Найдите значение алгебраической дроби: \(\frac{c^{3}+dc}{c^{2}d+d^{2}}\) при \(c=-2, d=10\)

Решение №5426: \(\frac{c^{3}+dc}{c^{2}d+d^{2}} = \frac{c(c^{2}+d)}{d(c^{2}+d)} = \frac{c}{d}; \frac{c}{d} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}\)

Ответ: \(-\frac{1}{5}\)

Пусть \(f(x) = \frac{x^{2}-x-2}{x+5}\). Найдите \(f(0); f(1); f(-3)\)

Решение №5429: \(f(0) = \frac{0^{2}-0-2}{0+5} = \frac{-2}{5} = -0,4; f(1) = \frac{1^{2}-1-2}{1+5} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}; f(-3) = \frac{(-3)^{2}-(-3)-2}{-3+5} = \frac{9+3-2}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

Ответ: 5

Придумайте реальную ситуацию, описываемую заданной математической моделью: \((\frac{24}{x+2} = \frac{16}{x-2} = 1\)

Решение №5438: \(\frac{24}{x+2} = \frac{16}{x-2}\) Лодка по течению реки проплыла 24 км, против течения реки 16 км. Какова собственная скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч и время, затраченное на путь по течению реки и на путь против течения реки одинаковые.

Ответ: NaN

Придумайте реальную ситуацию, описываемую заданной математической моделью: \((\frac{10}{x-2} + \frac{9}{x+2} = 3\)

Решение №5440: \((\frac{10}{x-2} + \frac{9}{x+2} = 3\) Прогулочый катер двигался по реке, скорость течения которой 2 км/ч. По течению реки он проплыл 10 км и против течения - 9 км, затратив на весь путь 3ч. Найдите скорость катера.

Ответ: NaN

Какие значения может принимать число \(a\), если дробь \(\frac{x^{2}+2x-8}{x-a}\) определена при всех значениях \(x\), удовлетворяющих условию: \(x^{2} = 4\)

Решение №5443: \(x^{2}=4; x_{1}=-2; x_{2}=2; x-a \neq 0; -2-a \neq 0 ⇒ -a \neq 2 ⇒ a \neq -2; 2-a \neq 0 ⇒ -a \neq -2 ⇒ a \neq 2\)

Ответ: \(x^{2}=4; x_{1}=-2; x_{2}=2; x-a \neq 0; -2-a \neq 0 ⇒ -a \neq 2 ⇒ a \neq -2; 2-a \neq 0 ⇒ -a \neq -2 ⇒ a \neq 2\)

При каких значениях \(a\) определена для всех значений \(x\) дробь: \(\frac{3x-a}{x-3}\)

Решение №5447: \(\frac{3x-a}{x-3}; ни при каких значениях a\)

Ответ: \( ни при каких значениях a\)

Зная, что \(3x-9y=1\), найдите значение выражения: \(x-3y\)

Решение №5449: \(3x-9y=1; x-3y; 3x-9y=1 ⇒ 3(x-3y)=1 ⇒ x-3y= \frac{1}{3}\)

Ответ: \(\frac{1}{3}\)

Зная, что \(3x-9y=1\), найдите значение выражения: \(\frac{6}{x-3y}\)

Решение №5450: \(\frac{6}{x-3y}; x-3y=\frac{1}{3} ⇒ \frac{6}{\frac{1}{3}} = 6 \cdot 3 = 18\)

Ответ: 18

Зная, что \(3x-9y=1\), найдите значение выражения: \((9y^{2}-6xy+x^{2}) \cdot 3\)

Решение №5452: \((9y^{2}-6xy+x^{2}) \cdot 3 = ((3y)^{2} - 2 \cdot x \cdot 3y \cdot x^{2}) \cdot 3 = (3y-x)^{2} \cdot 3 = (-(x-3y))^{2} \cdot 3 = (-1)^{2} \cdot (x-3y)^{2} \cdot 3 = (3y-x)^{2} \cdot 3 = (\frac{1}{3})^{2} \cdot 3 = \frac{1}{9} \ cdot = \frac{1}{3}\)

Ответ: \(\frac{1}{3}\)

Зная, что \(\frac{x}{y}=\frac{1}{5}\), найдите значение выражения: \(\frac{y}{2x}\)

Решение №5459: \(\frac{y}{2x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2} = -2,5\)

Ответ: -2.5

Зная, что \(\frac{x}{y}=\frac{1}{5}\), найдите значение выражения: \(\frac{x-y}{y}\)

Решение №5460: \(\frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - \frac{y}{y} = \frac{1}{5} - 1 = -\frac{4}{5}\)

Ответ: \(-\frac{4}{5}\)

Найдите значение дроби: \(\frac{3x-8y}{y}\), если \(\frac{x}{y}=0,4\)

Решение №5462: \(\frac{3x-8y}{y} = \frac{3x}{y} - \frac{8y}{y} = 3\tfrac{x}{y} - 8 = 3 \cdot 0,4 = 1,2-8 = -6,8; \frac{x}{y}=0,4\)

Ответ: 0.4

Зная, что \(\frac{a+2b}{b}=7\), найдите значение выражения: \(\frac{2a+3b}{b}\)

Решение №5465: \(\frac{2a+3b}{b}=\frac{2a}{b}+\frac{3b}{b}=2\tfrac{a}{b}+3=2 \cdot 5+3=13\)

Ответ: 13

Зная, что \(\frac{x-3y}{y}=12\), найдите значение выражения: \(\frac{2x+y}{3y}\)

Решение №5468: \(\frac{2x+y}{3y} = \frac{2x}{3y}+\frac{y}{3y}=\frac{2}{3} \cdot \frac{x}{y} + \frac{1}{3}=\frac{2}{3} \cdot 15+\frac{1}{3}=\frac{2 \cdot 15}{3}+\frac{1}{3}=\frac{30}{3}+\frac{1}{3}=10+\frac{1}{3}=10\tfrac{1}{3}\)

Ответ: \(10\tfrac{1}{3}\)

Найдите все натуральные значения \(n\), при которых заданная дробь является натуральным числом: \(\frac{n+3}{n}\)

Решение №5471: \(\frac{n+3}{n}=\frac{n}{n}+\frac{3}{n}=1+\frac{3}{n}; При n=1;3 дробь \frac{n+3}{n} является натуральным числом.\)

Ответ: \(дробь \frac{n+3}{n} является натуральным числом.\)

Найдите все натуральные значения \(n\), при которых заданная дробь является натуральным числом: \(\frac{45-7n}{n}\)

Решение №5474: \(\frac{45-7n}{n}=\frac{45}{n}-\frac{7n}{n}=\frac{45}{n}=-7; При n=1;3;5 дробь \frac{45-7n}{n} является натуральным числом.\)

Ответ: \(При n=1;3;5 дробь \frac{45-7n}{n} является натуральным числом.\)

Пусть \(\frac{x}{y}=3\). Найдите значение дроби \(\frac{3x^{2}-5xy+2y^{2}}{x^{2}+5y^{2}}\)

Решение №5475: \(\frac{3x^{2}-5xy+2y^{2}}{x^{2}+5y^{2}}; \frac{x}{y}=3⇒ x=3y; \frac{3 \cdot (3y)^{2}-5 \cdot 3 \cdot y+2y^{2}}{(3y)^{2}+5y^{2}}=\frac{3 \cdot 9y^{2}-15y^{2}+2y^{2}}{9y^[2}+5y^{2}}=\frac{27y^{2}-13y^{2}}{14y^{2}}=\frac{14y^{2}}{14y^{2}}=1\)

Ответ: 1

Докажите, что если \(\frac{3b-a}{b-2a} = 4\), то \(\frac{2a^{2}-3ab+2b^{2}}{2a^{2}-ab}=1,58\)

Решение №5476: \(\frac{3b-a}{b-2a}=4⇒3b-a=5(b-2a)⇒3b-a=4b-8a⇒3b-4b=-8a+a⇒-b=-7a⇒b=7a; \frac{2a^{2}-3ab+2b^{2}}{2a^{2}-ab}=\frac{2a^{2}-3 \cdot a \cdot 7a+2 \cdot (7a)^{2}}{2a^{2}-a \cdot 7a}=\frac{2a^{2}-21a^{2}+98a^{2}}{2a^{2}-7a^{2}}=\frac{79a^{2}}{-5a^{2}}= \frac{79}{-5}=15,8\)

Ответ: 15.8

Сократите дробь: \(\frac{14k^{2}l}{7kl^{2}}\)

Решение №5481: \(\frac{14k^{2}l}{7kl^{2}} = \frac{2 \cdot 7 \cdot k \cdot k \cdot l}{7 \cdot k \cdot l \cdot l}=\frac{2k}{l}\)

Ответ: \(\frac{2k}{l}\)

Сократите дробь: \(\frac{ac-2bc-ab+b^{2}+c^{2}}{bc+2ab-ac-b^{2}-a^{2}}\)

Решение №5488: \(\frac{ac-2bc-ab+b^{2}+c^{2}}{bc+2ab-ac-b^{2}-a^{2}}=\frac{a(c-b)+(с^{2}-2bc+b^{2})}{c(b-a)-(b^{2}-2ab+a^{2})}=\frac{a(c-b)+(c-)^{2}}{c(b-a)-(b-a)^{2}}=\frac{(c-b)(a+c-b)}{(b-a)(c-b+a)}=\frac{c-b}{b-a}\)

Ответ: \(\frac{c-b}{b-a}\)

Докажите тождество: \(\frac{4,5a^{2}+0,5ab}{40,5a^{2}-0,5b^{2}} = \frac{a}{9a-b}\)

Решение №5489: \(\frac{4,5a^{2}+0,5ab}{40,5a^{2}-0,5b^{2}} = \frac{0,5a(9a+b)}{0,5(81a^{2}-b^{2})}=\frac{a(9a+b)}{(9a-b)(9a+b)}=\frac{a}{9a-b}; \frac{a}{9a-b}=\frac{a}{9a-b}\)

Ответ: \(\frac{a}{9a-b}\)

Найдите значение дроби: \(\frac{2a+4b}{0,2a^{2}-0,8b^{2}}\), если \(a-2b=5, a+2b \neq 0\)

Решение №5492: \(\frac{2a+4b}{0,2a^{2}-0,8b^{2}}=\frac{2(a+2b)}{0,2(a^{2}-4b^{2})}=\frac{10(a+2b)}{(4-2b)(a+2b)}=\frac{10}{a-2b}; a-2b=5; a+2b \neq 0; \frac{10}{a-2b}=\frac{10}{5}=2\)

Ответ: 2

Найдите значение дроби: \(\frac{9x^{2}-3xy}{12xy-4y^{2}}\), при \(x=0,5, y=0,25\)

Решение №5493: \(\frac{9x^{2}-3xy}{12xy-4y^{2}} = \frac{3x(3x-y)}{4y(3x-y)}=\frac{3x}{4y}; x=0,5; y=0,25; \frac{3x}{4y}=\frac{3 \cdot 0,5}{4 \cdot 0,25}=\frac{1,5}{1}=1,5\)

Ответ: 1.5

Найдите значение дроби: \(\frac{a^{3}-4ab^{2}}{12b^{2}-6ab}\), при \(a=-2,4, b=0,2\)

Решение №5494: \(\frac{a^{3}-4ab^{2}}{12b^{2}-6ab} = \frac{a(a^{2}-4b^{2})}{6b(2b-a)}=\frac{-a(4b^{2}-a^{2})}{6b(2b-a)}=\frac{-a(2b-a)(2b+a)}{6b(2b-a)}=\frac{-a(2b+a)}{6b}; a=-2,4; b=0,2; \frac{-a(2b+a)}{6b}=\frac{2,4 \cdot (2 \cdot 0,2 - 2,4)}{6 \cdot 0,2}=\frac{2,4(0,4-2,4)}{1,2}=2 \cdot (-2)=-4\)

Ответ: -4

Найдите значение дроби: \(\frac{30kl-15k^{2}}{4kl-8l^{2}}\), при \(k=\frac{1}{5}, l=\frac{1}{6}\)

Решение №5496: \(\frac{30kl-15k^{2}}{4kl-8l^{2}}=\frac{15k(2l-k)}{4l(k-2l)}=\frac{15k(k-2l)}{4l(k-2l)}=-\frac{15k}{4l}; k=\frac{1}{5}; l=\frac{1}{6}; -\frac{15k}{4l}=-\frac{15 \cdot \frac{1}{5}}{4 \cdot \frac{1}{6}}=-\frac{3}{\frac{4}{6}} = -\frac{3}{\frac{2}{3}}=3 \cdot \frac{3}{2}=-\frac{9}{2}=-4,5\)

Ответ: 4.5

Сократите дробь и выясните, изменилось ли в результате сокращения множество допустимых значений её переменных: \(\frac{8x}{8a}\)

Решение №5497: \(\frac{8x}{8a}=\frac{x}{a}; Допустимые значения: x - любое число; a \neq 0. Не изменилось\)

Ответ: \(a \neq 0. Не изменилось\)

Сократите дробь и выясните, изменилось ли в результате сокращения множество допустимых значений её переменных: \(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x+1}\)

Решение №5498: \(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x+1}=\frac{x^{2}-1^{2}}{(x+1)^{2}}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+1)}=\frac{x-1}{x+1}; Допустимые значения: x +1 \neq 0 ⇒ x \neq -1. Не изменилось\)

Ответ: \(x \neq -1. Не изменилось\)

Сократите дробь и выясните, изменилось ли в результате сокращения множество допустимых значений её переменных: \(\frac{y^{2}-2y+1}{y^{2}-1}\)

Решение №5504: \(\frac{y^{2}-2y+1}{y^{2}-1}=\frac{(y-1)^{2}}{(y-1)(y+1)}=\frac{(y-1)(y-1)}{(y-1)(y+1)}=\frac{y-1}{y+1}; y+1 \neq 0 ⇒ y \neq -1, изменилось\)

Ответ: \(y \neq -1, изменилось\)

Докажите, что значение данной дроби при всех допустимых значениях \(x\) равно -8, укажите эти допустимые значения \(x\): \(\frac{8x-8}{1-x}\)

Решение №5505: \(\frac{8x-8}{1-x} = \frac{8(x-1)}{(1-x)}=\frac{-8(1-x)}{(1-x)}=-8; при 1-x \neq 0 ⇒ -x \neq -1 ⇒ x \neq 1\)

Ответ: NaN

Найдите все пары \((a; b)\), при которых данная дробь не определена, и изобразите их на координатной плоскости: \(\frac{b-5}{(a-5)(b+2)}\)

Решение №5520: \(\frac{b-5}{(a-5)(b+2)}; (5;t) или (t;-2), где t - любое число\)

Ответ: \((5;t) или (t;-2), где t - любое число\)

Постройте множество точек (x; y) на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют условию: \(\frac{x^{2}-2xy+x}{x(x-y)}=0\)

Решение №5523: \(\frac{x^{2}-2xy+x}{x(x-y)}=0; x^{2}-2xy+x=0; -2xy=-x^{2}-x; x \neq 0; x-y \neq 0; x \neq y; y=\frac{-x^{2}-x}{-2x}=\frac{-(x^{2}+x)}{-2x}=\frac{x(x+1)}{2x}=\frac{x+1}{2}; x=2; y=1,5; x=-2; y=0,5\)

Ответ: NaN

Постройте множество точек (x; y) на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют условию: \(\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}=0\)

Решение №5524: \(\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}=0; x+y \neq 0 ⇒x \neq -y; \frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}=x-y; x-y=0; y=x\)

Ответ: NaN

Постройте график функции: \(y = \frac{2x^{2}-5x}{2x-5}\)

Решение №5526: \(y = \frac{2x^{2}-5x}{2x-5} = \frac{x(2x-5)}{2x-5}=x; 2x-5 \neq 0; 2x \neq 5; x \neq 2,5\)

Ответ: NaN

Постройте график функции: \(y = \frac{2x^{3}}{x+|x|}\)

Решение №5527: \(y = \frac{2x^{3}}{x+|x|}; x+|x| \neq 0 ⇒ x \neq 0; y_1=\frac{2x^{3}}{x+x}=\frac{2x^{3}}{2x}=x^{2} при x>0; y_2=\frac{2x^{3}}{-x+x}=\frac{2x^{3}}{0} - не существует\)

Ответ: NaN

Приведите к наименьшему общему знаменателю алгебраические дроби: \(\frac{b}{a}\) и \(\frac{c}{2ab}\)

Решение №5531: \(\frac{b}{a}=\frac{2b^{2}}{2ab}; \frac{c}{2ab}\)

Ответ: \(2ab\)

Приведите к наименьшему общему знаменателю алгебраические дроби: \(\frac{x^{2}}{5y}\) и \(\frac{z-3}{y^{2}}\)

Решение №5534: \(\frac{x^{2}}{5y}=\frac{x^{2}y}{5y^{2}}; \frac{z-3}{y^{2}}=\frac{2(z-3)}{5y^{2}}=\frac{5z-15}{5y^{2}}\)

Ответ: \(5y^{2}\)

Приведите к наименьшему общему знаменателю алгебраические дроби: \(\frac{8}{15a^{2}b^{3}}\) и \(\frac{3}{10a^{3}b^{3}}\)

Решение №5538: \(\frac{8}{15a^{2}b^{3}}=\frac{16a}{30a^{3}b^{3}}; \frac{3}{10a^{3}b^{3}}\)

Ответ: \(10a^{3}b^{3}\)

Приведите к наименьшему общему знаменателю алгебраические дроби: \(\frac{b}{a+b}\) и \(\frac{13b}{a}\)

Решение №5542: \(\frac{b}{a+b}=\frac{ab}{a(a+b)}; \frac{13b}{a}=\frac{13b(a+b)}{a(a+b)}\)

Ответ: \(a(a+b)\)

Приведите к наименьшему общему знаменателю алгебраические дроби: \(\frac{1+a}{a^{2}}\) и \(\frac{a-1}{a-4}\)

Решение №5543: \(\frac{1+a}{a^{2}}=\frac{(a-4)(1+a)}{a^{2}(a-4)}; \frac{a-1}{a-4}=\frac{a^{2}(a-1)}{a^{2}(a-4)}\)

Ответ: \(a^{2}(a-4)\)

Приведите к наименьшему общему знаменателю алгебраические дроби: \(\frac{2c}{b}\) и \(\frac{b}{b-c}\)

Решение №5544: \(\frac{2c}{b}=\frac{2c(b-c)}{b(b-c)}; \frac{b}{b-c}=\frac{b^{2}}{b(b-c)}\)

Ответ: \(b(b-c)\)

Приведите к наименьшему общему знаменателю алгебраические дроби: \(\frac{(c+d)}{c(c-d)}\) и \(\frac{d}{c}\)

Решение №5548: \(\frac{(c+d)}{c(c-d)}; \frac{d}{c}=\frac{d(c-d)}{c(c-d)}\)

Ответ: \(c(c-d)\)

Приведите к наименьшему общему знаменателю алгебраические дроби: \(\frac{m-4}{m(m+2)}\) и \(\frac{m-2}{m^{2}}\)

Решение №5553: \(\frac{m-4}{m(m+2)}=\frac{m(m-4)}{m^{2}(m+2)}; \frac{m-2}{m^{2}}=\frac{(m-2)(m+2)}{m^{2}(m+2)}\)

Ответ: \(m+2)\)

Приведите к наименьшему общему знаменателю алгебраические дроби: \(\frac{17x}{3x-3}\) и \(\frac{11}{6x-6}\)

Решение №5554: \(\frac{17x}{3x-3}=\frac{34x}{6x-6}; \frac{11}{6x-6}\)

Ответ: \(6x-6\)

Приведите к наименьшему общему знаменателю алгебраические дроби: \(\frac{x-3}{x^{3}-xy}\) и \(\frac{y-3}{xy-y^{2}}\)

Решение №5557: \(\frac{x-3}{x^{3}-xy}=\frac{x-3}{x(x-y)}=\frac{y(x-3)}{xy(x-y)}; \frac{y-3}{xy-y^{2}}=\frac{y-3}{y(x-y)}=\frac{x(y-3)}{xy(x-y)}\)

Ответ: \(xy(x-y)\)

Приведите к наименьшему общему знаменателю алгебраические дроби: \(\frac{5m}{m-8}\) и \(\frac{6n}{m+8}\)

Решение №5558: \(\frac{5m}{m-8}=\frac{5m(m+8)}{(m-8)(m+8)}=\frac{5m(m+8)}{m^{2}-64}; \frac{6n}{m+8}=\frac{6n(m-8)}{(m+8)(m-8)}=\frac{6n(m-8)}{m^{2}-64}\)

Ответ: \(m^{2}-64\)