Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Решите уравнение: \(\frac{x-2}{5}+\frac{2\cdot x-5}{4}+\frac{4\cdot x-1}{20}=4-x\)

Решение №16687: \(\frac{x-2}{5}+\frac{2\cdot x-5}{4}+\frac{4\cdot x-1}{20}=4-x (\cdot 20); 4\cdot (x-2)+5\cdot (2\cdot x-5)+4\cdot x-1=20\cdot (4-x);4\cdot x-8+10\cdot x-25+4\cdot x-1=80-20\cdot x;18\cdot x+20\cdot x=80+8+25+1;38\cdot x=114;x=3\)

Ответ: 3

Решите уравнение: \(\frac{5\cdot x-4}{3}+\frac{3\cdot x-2}{6}+\frac{2\cdot x-1}{2}=3\cdot x-2\)

Решение №16688: \(\frac{5\cdot x-4}{3}+\frac{3\cdot x-2}{6}+\frac{2\cdot x-1}{2}=3\cdot x-2 (\cdot 6);2\cdot (5\cdot x-4)+3\cdot x-2+3\cdot (2\cdot x-1)=6\cdot (3\cdot x-2);10\cdot x-8+3\cdot x-2+6\cdot x-3=18\cdot x-12;19\cdot x-18\cdot x=-12+8+2+3;x=1\)

Ответ: 1

Решите уравнение: \(\frac{3-5\cdot x}{5}+\frac{3\cdot x-5}{3}+\frac{6\cdot x+7}{15}=2\cdot x+1\)

Решение №16689: \(\frac{3-5\cdot x}{5}+\frac{3\cdot x-5}{3}+\frac{6\cdot x+7}{15}=2\cdot x+1 (\cdot 15); 3\cdot (3-5\cdot x)+5\cdot (3\cdot x-5)+6\cdot x+7=15\cdot (2\cdot x+1);9-15\cdot x+15\cdot x-25+6\cdot x+7=30\cdot x+15;6\cdot x-30\cdot x=15-9+25-7;+24\cdot x=24;x=-1\)

Ответ: -1

Решите уравнение: \(2\cdot x+x\cdot (3-(x+1))=x\cdot (2-x)+12\)

Решение №16690: \(2\cdot x+x\cdot (3-(x+1))=x\cdot (2-x)+12;2\cdot x+x\cdot (3-x-1)=2\cdot x-x^{2}+12;2\cdot x+x\cdot (2-x)=2\cdot x-x^{2}+12;2\cdot x+2\cdot x-x^{2}-2\cdot x+x^{2}=12;2\cdot x=12;x=6\)

Ответ: 6

Решите уравнение: \(x^{2}\cdot (5\cdot x+3)-6\cdot x\cdot (x^{2}-4)=3\cdot x\cdot (8+x)\)

Решение №16691: \(x^{2}\cdot (5\cdot x+3)-6\cdot x\cdot (x^{2}-4)=3\cdot x\cdot (8+x);5\cdot x^{3}+3\cdot x^{2}-6\cdot x^{3}+24\cdot x=24\cdot x+3\cdot x^{2}; -x^{3}+3\cdot x^{2}-3\cdot x^{2}+24\cdot x-24\cdot x=0;-x^{3}=0;x=0\)

Ответ: 0

Решите уравнение: \(x\cdot (12-x)-5=4\cdot x-x\cdot (10-(3-x))\)

Решение №16692: \(x\cdot (12-x)-5=4\cdot x-x\cdot (10-(3-x));12\cdot x-x^{2}-5=4\cdot x-x\cdot (10-3+x);12\cdot x-x^{2}-5=4\cdot x-x\cdot (7+x);12\cdot x-x^{2}-5-4\cdot x+7\cdot x+x^{2}=0;15\cdot x=5;x=\frac{5}{15};x=\frac{1}{3}\)

Ответ: \(\frac{1}{3}\)

Решите уравнение: \(x\cdot (4\cdot x-11)-7\cdot x\cdot (x-1)=-2\cdot x\cdot (x+2)+1\)

Решение №16693: \(x\cdot (4\cdot x-11)-7\cdot x\cdot (x-1)=-2\cdot x\cdot (x+2)+1; 4\cdot x^{2}-11\cdot x-7\cdot x^{2}+7\cdot x+2\cdot x^{2}+4\cdot x=1;-x^{2}=1;x^{2}=-1\)

Ответ: Нет решений

Решите уравнение: \((7-10\cdot x)-(8-8\cdot x)+(10\cdot x+6)=-8\)

Решение №16696: \(7-10\cdot x-8+8\cdot x+10\cdot x+6=-8,8\cdot x=-8-7+8-6,8\cdot x=-13,x=-\frac{13}{8},x=-1\cdot \frac{5}{8}\)

Ответ: \(-1\cdot \frac{5}{8}\)

Целое число \(с\) является корнем многочлена \(P(x)\) с целыми коэффициентами. Докажите, что свободный член этого многочлена делится на \(с\).

Решение №16706: Воспользуйтесь равенством $(a_n\cdot(c^{n-1})+a_{n-1}c^{n-2}+\ldots+a_1)c+a_0=0$

Ответ: нет ответа

Несократимая дробь \(\frac {p}{q}\) является корнем многочлена \(P(x)\) с целыми коэффициентами. Докажите, что свободный член этого многочлена делится на \( p\), а старший коэффициент делится на \( q\).

Решение №16707: Воспользуйтесь равенством $(a_n\cdot(p^{n-1})+a_{n-1}p^{n-2}q+\ldots+a_1q^{n-1})p+a_0q^n=0$ и $a_np^n+q(a_n\cdot(p^{n-1})+\ldots+a_1pq^{n-2}+a_0q^{n-1}=0$ и тем, что числа \( q\) и \( p\) не имеют общих делителей

Ответ: нет ответа

Найдите числа \( m\) и \( n\), для которых многочлены \((x^2-1)(x+m)\) и \((x-1)(x+3)(x+n)\) равны.

Решение №16708: Подставьте в данные многочлены \(x=-3\) и \(х=-1\)

Ответ: m=3, n=1

Многочлен $(P(x)=a_0 x^n+a_1 x^(n-1)+\ldots+a_(n-1)x+a_n)$ с целыми коэффициентами принимает нечетное значение при\( x\)=\(0\). Докажите, что он принимает нечетные значения при всех четных\( x\).

Решение №16709: Если число \(х\) четное, то значение многочлена при делении на \(2\) дает такой же остаток, как число \(a_n=P(0)\)

Ответ: нет ответа

Многочлен $(P(x)=a_0 x^n+a_1 x^(n-1)+\ldots+a_(n-1)x+a_n)$ с целыми коэффициентами принимает нечетное значение при\( x\)=\(1\). Докажите, что он принимает четные значения при всех нечетных\( x\).

Решение №16710: Если число \(х\) нечетное, то значение многочлена при делении на \(2\) дает такой же остаток, как число \(a_0+a_1+\ldots+a_{n-1}+a_n=P(1)\)

Ответ: нет ответа

Выберите целое число \(a\) так, чтобы для некоторых целых \(b\) и \(с\) выполнялось равенство $(x-a)(x-10)+1=(x+b)(x+c)$.

Решение №16711: Положите \(х=10\). Тогда \((10+b)(10+c=1\), поэтому \(b=c=-9\) или \(b=c=-11\). В первом случае \((х-а)(х-10)+1=(х-11)^2\), поэтому \(а=12\)

Ответ: 8 или 12

Найдите все \(a\), для которых многочлены \(x^4+ax^2+1\) и \(x^3+ax+1\) имеют общий корень.

Решение №16712: Если \(x_0^4+ax_0^2+1=0\) и \(x_0^3+ax_0+1=0\), то $x_0^4+ax_0^2+1-x_0(x_0^3+ax_0+1)=0$, т.е. \(х_0=1\). В таком случае \(1+а+1=0\), т.е. \(а=-2\). При \(а=-2\) данные многочлены действительно имеют общий корень \(х_0=1\)

Ответ: a=-2

Многочлен \(P(x)\) при всех целых\( x\) принимает целые значения. Обязательно ли коэффициенты этого многочлена - целые числа?

Решение №16713: Рассмотрите многочлен \(Р(х)=\frac{x(x+1)}{2}\)

Ответ: Нет, не обязательно

Найдите сумму всех коэффициентов многочлена, который получается из выражения \(P(x)=(x^3-x+1)^{100})\) в результате раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.

Решение №16714: Сумма всех коэффициентов многочлена \(Р(х)\) равна \(Р(1)\)

Ответ: 1

Найдите сумму всех коэффициентов многочлена \((1+x)^n\).

Решение №16715: См. указание к задаче \(5.9\)

Ответ: 2^n

Дан многочлен \(P(x)=(x^3-x+1)^{100})\). Найдите сумму всех коэффициентов а) при четных степенях; б) при нечетных степенях.

Решение №16716: Сумма всех коэффициентов многочлена \(Р(х)\) равна \(Р(1)\), а разность между суммой коэффициентов многочлена \(Р(х)\) при четных степенях и суммой при нечетных степенях равна \(Р(-1)\). Поэтому сумма коэффициентов при четных степенях равна $\frac{Р(1)+Р(-1)}{2}=1$, а сумма коэффициентов при нечетных степенях равна $\frac{Р(1)-Р(-1)}{2}=0$

Ответ: а) 1; б) 0