Решение №7509: Очевидно, что \(\forall n\in N x_{n+1}\geqslant y_{n+1}\). Докажем, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывающая, а последовательность \(\left \{ y_{n} \right \}\) возрастающая, начиная с некоторого \(k\forall n\in N x_{n+2}-x_{n+1}=\frac{y_{n+1}-x_{n+1}}{2}\leqslant 0. \forall n\in N y_{n+2}=\sqrt{x_{n+1}y_{n+1}}=\sqrt{\frac{x_{n}y_{n}}{2}*y_{n+1}}\geqslant y_{n+1}, \frac{x_{n}y_{n}}{2}\geqslant \sqrt{x_{n}y_{n}}=y_{n+1}\). Тогда последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастает и ограничена сверху, например\( y_{1}=b\), а последовательность \(\left \{ y_{n} \right \}\) убывает и ограничена снизу, например\(y_{1}=0\), так что обе имеют пределы. Осталось показать, что эти пределы равны. Перейдём в равенстве \(x_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2}\) к пределу: \(A=\frac{A+B}{2}\Leftrightarrow A=B\), что и требовалось.

Ответ: NaN

Решение №7510: \( a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n}< \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}=0\) Таким образом, последовательность убывает. Поскольку последовательность ограничена снизу (например, числом 0), то имеет предел, причём этот предел меньше \(a_{3}=\frac{19}{20}< 1\)

Ответ: NaN

Решение №7513: Подстановка показывает, что при a=2 члены последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \)суть периметры правильных \(2^{n+1}\) угольников, вписанных в окружности радиуса, предел которых есть длина этой окружности, т.е.\( 2\pi \)

Ответ: NaN

Решение №7515: При \(с\geqslant -2 \) имеем \(x_{1}\geqslant 0\), а тогда все последующие члены последовательности положительны. В таком случае очевидно, что каждый последующий член последовательности больше предыдущего.

Ответ: NaN

Решение №7521: Последовательность \(a_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}\) возрастающая. В нашем случае \(a_{n}< a_{2n} \)

Ответ: NaN

Решение №7525: Заметим, что \(\left ( 1+\frac{1}{1} \right )^{1}*\left ( 1+\frac{1}{2} \right )^{2}*\left ( 1+\frac{1}{3} \right )^{3}*...*\left ( 1+\frac{1}{n-1} \right )^{n-1}=\frac{n^{n-1}}{\left ( n-1 \right )!}=\frac{n^{n}}{n!}\) Тогда можно записать следующие равенства: \(\frac{1}{n}\sqrt[n]{n!}=\frac{\sqrt[n]{\frac{n!}{n^{n}}}}{\sqrt[n]{1*\left ( 1+\frac{1}{1} \right )^{1}*\left ( 1+\frac{1}{2} \right )^{2}*\left ( 1+\frac{1}{3} \right )^{3}*...*\left ( 1+\frac{1}{n-1} \right )^{n-1}}}\) Тем самым, взяв натуральный логарифм исходной последовательности, можно записать его в виде \(\ln \left ( \frac{1}{n}\sqrt[n]{n!} \right )=-\frac{\ln 1+\ln \left ( 1+\frac{1}{1} \right )^{1}+\ln \left ( 1+\frac{1}{2} \right )^{2}+\ln \left ( 1+\frac{1}{3} \right )^{3}+...+\ln \left ( 1+\frac{1}{n-1} \right )^{n-1}}{n}\). Мы знаем, что \(\lim_{n \to \propto}\ln \left ( 1+\frac{1}{n-1} \right )^{n-1}=1,\)а тогда и \(\lim n_{\to \propto}\frac{\ln 1+\ln \left ( 1+\frac{1}{1} \right )^{1}+\ln \left ( 1+\frac{1}{2} \right )^{2}+\ln \left ( 1+\frac{1}{3} \right )^{3}+...+\ln \left ( 1+\frac{1}{n-1} \right )^{n-1} }{n}=1\), а значит \(\lim_{n \to \propto}\ln \left ( \frac{1}{n}\sqrt[n]{n!} \right )=-1\), откуда \(\lim_{n \to \propto}\left ( \frac{1}{n}\sqrt[n]{n!} \right )=\frac{1}{e} \)

Ответ: NaN

Решение №7526: упомянутое разложение можно записать так: \(\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}=1+1+\frac{1}{2!}*\left ( 1-\frac{1}{n} \right )+\frac{1}{3!}\left ( 1-\frac{1}{n} \right )\left ( 1-\frac{2}{n} \right )+...+\frac{1}{n!}\left ( 1-\frac{1}{n} \right )\left ( 1-\frac{2}{n} \right )*...*\left ( 1-\frac{n-1}{n} \right ) \)

Ответ: NaN

Решение №7529: При n> 2 выполняется \(\frac{2}{n}=\frac{2n}{n^{2}}< \frac{2n+3}{n^{2}}< \frac{4n}{n^{2}}=\frac{4}{n}\)\). Тогда так как \(\(\forall n> 2\left ( \frac{2}{n} \right )^{n}< \left ( \frac{2n+3}{n^{2}} \right )^{n}< \left ( \frac{4}{n} \right )^{n}\), то по теореме о сжатой последовательности \(\lim_{n \to \propto} \left ( \frac{2n+3}{n^{2}} \right )=0.\)

Ответ: 0

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 4

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 5