Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}=\left ( \frac{n-1}{n} \right )^{5} \)

Решение №7428: \( \lim_{n \to \propto}\frac{\left ( -1 \right )^{n}6^{n}-5^{n+1}}{5^{n}-\left ( -1 \right )^{n+1}6^{n+1}}=\lim_{n \to \propto}\frac{1-5\left ( -1 \right )^{n}\left ( \frac{5}{6} \right )^{n}}{\left ( -1 \right )^{n}\left ( \frac{5}{6} \right )^{n}+6}=\frac{1}{6} \)

Ответ: \frac{1}{6}

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}= \frac{\sqrt{n^{2}+1}-n}{\sqrt{n+1}- \sqrt{n}}\)

Решение №7431: Умножив числитель и знаменатель дроби на сопряженные выражения, получим \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto}\frac{\sqrt{n^{2}+1}-n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\lim_{n \to \propto}\frac{\left ( n^{2}+1-n^{2} \right )\left ( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right )}{\left ( \sqrt{n^{2}+1}+n \right )\left ( n+1-n \right )}\lim_{n \to \propto}\frac{n\left ( \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{n}} \right )}{n\left ( \sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1 \right )}=0\)

Ответ: 0

Найдите \(\lim_{n \to \propto}\sin ^{2}\left ( \pi \sqrt{n^{2}+n} \right ) \)

Решение №7443: Так как \(\forall x\sin ^{2}x=\sin ^{2}\left ( x-\pi k \right ), то \lim_{n \to \propto}\sin ^{2}\left ( \pi \sqrt{n^{2}+n}-\pi n \right )=\lim_{n \to \propto}\sin ^{2}\frac{\pi \left ( n^{2}+n-n^{2} \right )}{\sqrt{n^{2}+n}+n}=\lim_{n \to \propto}\sin ^{2}\frac{\pi n}{n\left ( \sqrt{1+\frac{1}{n}}+1 \right )}=1 \)

Ответ: NaN

Найдите\( \lim_{n \to \propto} x_{n}\), воспользовавшись свойствами пределов, связанными с неравенствами и арифметическими действиями с пределами. \(x_{n}=\frac{10^{n}+n!}{2^{n}+\left ( n+1 \right )!}\)

Решение №7444: \( \forall n\in N 0< \frac{10^{n}+n!}{2^{n}+\left ( n+1 \right )!}< \frac{10^{n}+n!}{\left ( n+1 \right )!}=\frac{10^{n}}{\left ( n+1 \right )!}+\frac{1}{n+1}\), а так как \(\lim_{n \to \propto}\left ( \frac{10^{n}}{\left ( n+1 \right )!}+\frac{1}{n+1} \right )=0, то \lim_{n \to \propto}\frac{10^{n}+n!}{2^{n}+\left ( n+1 \right )!}=0 \)

Ответ: 0

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), воспользовавшись свойствами пределов, связанными с неравенствами и арифметическими действиями с пределами. \(x_{n}=\frac{\left ( -3 \right )^{n^{2}-n}}{\left ( n^{3} \right )!}\)

Решение №7445: \( \forall n\in N n^{2}-n< n^{3}\),следовательно \(0< \frac{\left ( 3 \right )^{n^{2}-n}}{\left ( n^{3} \right )!}< \frac{3^{n^{3}}}{\left ( n^{3} \right )!}=\frac{3^{t}}{t!}\) .А так как \(\lim_{n \to \propto } \frac{3^{t}}{t!}=0 (если n\rightarrow \propto , то t=n^{3}\rightarrow \propto )\),то и \( \lim_{n \to \propto}\frac{3^{n^{2}-n}}{\left ( n^{3} \right )!}=0\). Значит, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) есть произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную \(\left ( -1 \right )^{n}. \)

Ответ: 0

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), воспользовавшись свойствами пределов, связанными с неравенствами и арифметическими действиями с пределами.\(x_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n+1}} \)

Решение №7447: \(x_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n+1}}\leqslant \frac{n+1}{\sqrt{n^{2}+1}}= \frac{n\left ( 1+\frac{1}{n} \right )}{n\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}=y_{n}\). Но \(\forall n\in N 1\leqslant x_{n}\leqslant y_{n}\), а так как \(y_{n}\rightarrow 1 n\rightarrow \propto\) ,то \(\lim x_{n}=1. \)

Ответ: 1

Докажите, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится: \(x_{n}=\frac{\left ( 2n \right )!!}{\left ( 2n+1 \right )!!} \)

Решение №7454: \( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{2n+2}{2n+3}< 1. \)

Ответ: NaN

Докажите, что \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится, и найдите \( \lim_{n \to \propto} x_{n} : x_{1}=13, x_{n+1}=\sqrt{12+x_{n}}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 4