Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Разложите выражение на множетели \( 9x+4\sqrt{x}-5 \).

Решение №2511: \( \sqrt{x}=y 9y^{2}+4y-5=0 D=4^{2}-4*9*(-5)=16+180=196=14^{2} y_{1}=\frac{-4-14}{2*9}=\frac{-18}{18}=-1; y_{2}=\frac{-4+14}{2*9}=\frac{10}{18}=\frac{5}{9} 9x+4\sqrt{x}-5=9(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-\frac{5}{9})=(\sqrt{x}+1)(9\sqrt{x}-5) \).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Сократите дробь \( \frac{x+4}{x^{2}+7x+12} \).

Решение №2517: \( \frac{x+4}{x^{2}+7x+12}=\frac{x+4}{(x+4)(x+3)}=\frac{1}{x+3} x^{2}+7x+12=0 D=7^{2}-4*1*12=49-48=1 x_{1}=\frac{-7-1}{2}=-4 x_{2}=\frac{-7+1}{2}=-3 x^{2}+7x+12=(x+4)(x+3) \).

Ответ: \frac{1}{x+3}

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Сократите дробь \( \frac{x+1}{x^{2}+4x+3} \).

Решение №2519: \( \frac{x+1}{x^{2}+4x+3}=\frac{x+1}{(x+3)(x+1)}=\frac{1}{x+3} x^{2}-4*1*3=16-12=4=2^{2} x_{1}=\frac{-4-2}{2}=\frac{-6}{2}=-3 x_{2}=\frac{-4+2}{2}=-1 x^{2}+4x+3=(x+3)(x+1) \).

Ответ: \frac{1}{x+3}

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Сократите дробь \( \frac{2x^{2}-9x+7}{x^{2}-1} \).

Решение №2521: \( \frac{2x^{2}-9x+7}{x^{2}-1}=\frac{(2x+7)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x+7}{x-1} 2x^{2}+9x+7=0 D=9^{2}-4*2*7=81-56=25=5^{2} x_{1}=\frac{-9-5}{4}=\frac{-14}{4}=-\frac{7}{2}; x_{2}=\frac{-9+5}{4}=-1 2x^{2}+9x+7=2(x+\frac{7}{2})(x+1)=(2x+7)(x+1) \).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Сократите дробь \( \frac{9x^{2}-1}{3x^{2}-8x-3} \).

Решение №2522: \( \frac{9x^{2}-1}{3x^{2}-8x-3}=\frac{(3x-1)(3x+1)}{(3x+1)(x-3)}=\frac{3x-1}{x-3} 3x^{2}-8x-3=0 D=(-8)^{2}-4*3*(-3)=+64+36=100=10^{2} x_{1}=\frac{8-10}{2*3}=\frac{-2}{2*3}=-\frac{1}{3}; x_{2}=\frac{18}{6}=3 3x^{2}-8x-3=3(x+\frac{1}{3})(x-3)=(3x+1)(x-3) \).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Сократите дробь \( \frac{x^{2}-8x+15}{x^{2}+7x-30} \).

Решение №2525: \( \frac{x^{2}-8x+15}{x^{2}+7x-30}=\frac{(x-3)(x-5)}{(x+10)(x-3)}=\frac{x-5}{x+10} x^{2}-8x+15=0 D=(-8)^{2}-4*1*15=64-60=4=2^{2} x_{1}=\frac{8-2}{2}=3; x_{2}=\frac{8+2}{2}=5 x^{2}-8x+15=(x-3)(x-5) x^{2}+7x-30=0 D=7^{2}-4*1*(-30)=49+120=169=13^{2} x_{1}=\frac{-7-13}{2}=-10 x_{2}=\frac{-7+13}{2}=3 x^{2}+7x-30=(x+10)(x-3) \).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Сократите дробь \( \frac{6x^{2}+7x-3}{2-x-15x^{2}} \).

Решение №2526: \( \frac{6x^{2}+7x-3}{2-x-15x^{2}}=\frac{(3x-1)(2x+3)}{-(3x-1)(5x+2)}=-\frac{2x+3}{5x+2} 5x^{2}+7x-3=0 D=7^{2}-4*6*(-3)=49+72=121=11^{2} x_{1}=\frac{-7-11}{6*2}=-\frac{3}{2} x_{2}=\frac{-7+11}{12}=\frac{1}{3} 6x^{2}+7x-3=(3x-1)(2x+3) 2-x-15x^{2}=0 -15x^{2}-x+2=0 D=(-1)^{2}-4*2*(-15)=1+120=121=11^{2} x_{1}=\frac{1-11}{2*(-15)}=\frac{1}{3} x_{2}=\frac{1+11}{-30}=-\frac{2}{5} -15x^{2}-x+2=-15(x-\frac{1}{3})(x+\frac{2}{5})=-(3x-1)(5x+2) \).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Сократите дробь \( \frac{x^{4}-10x^{2}+9}{x^{2}-2x-3} \).

Решение №2530: \( \frac{x^{4}-10x^{2}+9}{x^{2}-2x-3}=\frac{(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)}{(x+1)(x-3)}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)(x-3)} x^{4}-10x^{2}+9=0 x^{2}=y y^{2}-10y+9=0 D=(-10)^{2}=4*1*9=100-36=64=8^{2} y_{1}=\frac{10-8}{2}=1 y_{2}=\frac{10+8}{2}=9 x^{4}-10x^{2}+9-(x^{2}-1)(x^{2}-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3) x^{2}-2x-3=0 D=(-2)^{2}-4*1*(-3)=4+12=16=4^{2} x_{1}=\frac{2-4}{2}=-1 x_{2}=\frac{2+4}{2}=3 x^{2}+2x-3=(x+1)(x-3) \).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Упростите выражение: \( \frac{x+12}{x^{3}-9x}:(\frac{x-3}{2x^{2}+5x-3}-\frac{9}{9-x^{2}}) \).

Решение №2539: \( \frac{x+12}{x^{3}-9x}:(\frac{x-3}{2x^{2}+5x-3}-\frac{9}{9-x^{2}})= \frac{x+12}{x(x^{2}-9)}:(\frac{x-3}{2x^{2}+5x-3}-\frac{9}{9-x^{2}})=\frac{x+12}{x(x^{2}-9}:(\frac{(x-3)(3-x)-9(2x-1)}{(x+3)(3-x)(2x-1)})=\frac{x+12}{x(x^{2}-9}*\frac{(x+3)(3-x)(2x-1)}{3x-x^{2}-9+3x-18x+9}=\frac{(x+12)(x+3)(3-x)(2x-1)}{x(x-3)(x+3)(-x^{2}-12x)}=\frac{-(x+12)(x-3)(2x-1)}{-x(x-3)(x^{2}+12x)}=\frac{(x+12)(2x-1)}{x(x^{2}+12x)}=\frac{(x+12)(2x-1)}{x*x(x+12)}=\frac{2x-1}{x^{2}} 2x^{2}+5x-3=0 D=5^{2}-4*2*(-3)=25+24=49=7^{2} x_{1}=\frac{-5-7}{2*2}=\frac{-12}{4}=-3 x_{2}=\frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2} 2x^{2}+5x-3=2(x+3)(x-\frac{1}{2})=(x+3)(2x-1) \).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Упростите выражение: \( (\frac{3a-1}{a^{2}-4}-\frac{9a}{2a^{2}+5a-2})*\frac{15a^{3}-60a}{12a+1} \).

Решение №2540: \( (\frac{3a-1}{a^{2}-4}-\frac{9a}{2a^{2}+5a-2})*\frac{15a^{3}-60a}{12a+1}= \frac{(3a-1)^{2}-9a(a-2)}{(a+2)(a-2)(3a-1)}*\frac{15a(a^{2}-4)}{12a+1}=\frac{9a^{2}-6a+1-9a^{2}+18a}{(a^{2}-4)(3a-1)}*\frac{15a(a^{2}-4)}{12a+1}=\frac{(12a+1)*15a(a^{2}-4)}{(a^{2}-4)(3a-1)(12a+1)}=\frac{15a}{3a-1} 3a^{2}+5a-2=0 D=25+24=49=7^{2} x_{1}=\frac{-5-7}{6}=-2 x_{2}=\frac{-5+7}{6}=\frac{1}{3} 3a^{2}+5a-2=(a+2)(3a-1) \).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Упростите выражение: \( (\frac{4}{5a^{2}+a-4}-\frac{a+1}{9(5a-4)})*\frac{15a-12}{a+7} \).

Решение №2541: \( (\frac{4}{5a^{2}+a-4}-\frac{a+1}{9(5a-4)})*\frac{15a-12}{a+7}= (\frac{4}{(a+1)(5a-4)}-\frac{a+1}{9(5a-4)})*\frac{3(5a-4)}{a+7}=\frac{36-(a+12)*3(5a-4)}{9(5a-4)(a+1)(a+7)}=\frac{36-a^{2}-2a-1}{3(a+1)(a+7)}=\frac{-a^{2}-2a+35}{3(a+1)(a+7)}=\frac{-(a-5)(a+7)}{3(a+1)(a+7)}=\frac{5-a}{3(a+1)} 5a^{2}+a-4=0 D=1-4*5*(-5)=1+80=81=9^{2} a_{1}=\frac{-1-9}{10}=-1 a_{2}=\frac{-1+9}{10}=\frac{4}{5} 5a^{2}+a-4=(a+1)(5a-4) -a^{2}-2a+35=0 D=(-2)^{2}-4*(-1)*35=4+140=144=12^{2} a_{1}=\frac{2-12}{-2}=\frac{-10}{-2}=5 a_{2}=\frac{2+12}{-2}=-7 -a^{2}-2a+35=-(a-5)(a+7) \).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Докажите тождество \( (\frac{2x}{x+2}+\frac{4}{x^{2}+5x+6}-\frac{3}{x+3}): \frac{2x-1}{3}+\frac{x}{3+x}=1 \).

Решение №2543: \( (\frac{2x}{x+2}+\frac{4}{x^{2}+5x+6}-\frac{3}{x+3}): \frac{2x-1}{3}+\frac{x}{3+x}=1 x^{2}+5x+6=0 D=25-24=1 x_{1}=\frac{-5-1}{2}=-3 x_{2}=\frac{-5+1}{2}=-2 x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3) \frac{2x(x+3)+4-3(x+2)}{(x+2)(x+3)}:\frac{2x-1}{3}+\frac{x}{3+x}=1 \frac{2x^{2}+6x+4-3x-6}{(x+2)(x+3)}:\frac{2x-1}{3}+\frac{x}{3+x}=1 \frac{(2x^{2}+3x-2)*3}{(x+2)(x+3)(2x-1)}+\frac{x}{x+3}=1 2x^{2}+3x-2=0 D-9-4*2*(-2)=9+16=25=5^{2} x_{1}=\frac{-3-5}{4}=\frac{-8}{4}=-2 x_{2}=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2} 2(x+2)(x-\frac{1}{2})=(x+2)(2x-1) \frac{3(x+2)(2x-1)}{(2x-1)(x+2)(x+3)}+\frac{x}{x+3}=1 \frac{3+x}{x+3}=1 1=1 \).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Найдите значение выражения при \( x=2007 \) : \( (\frac{2x}{x+3}+\frac{1}{x-1}-\frac{4}{x^{2}+2x-3})*\frac{x}{2x+1}+\frac{3-x}{6+2x} \).

Решение №2546: \( (\frac{2x}{x+3}+\frac{1}{x-1}-\frac{4}{x^{2}+2x-3})*\frac{x}{2x+1}+\frac{3-x}{6+2x}= x^{2}+2x-3=0 D=2^{2}-4*1*(-3)=16=4^{2} x_{1}=\frac{-2-4}{2}=-3 x_{2}=\frac{-2+4}{2}=1 x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1) 2x^{2}-x-1=0 D=1+8=9=3^{1} x_{1}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2} x_{2}=\frac{1+3}{4}=1 2x^{2}-x-1=2(x+\frac{1}{2})(x-1)=(2x+1)(x-1) =(\frac{2x}{x+3}+\frac{1}{x-1}-\frac{4}{(x+3)(x-1)})*\frac{x}{2x+1}-\frac{3-x}{2(x+3)}=\frac{2x(x-1)+x+3-4}{(x+3)(x-1)}*\frac{x}{2x+1}-\frac{3-x}{2(x+3)}=\frac{2x^{2}-x-1}{(x+3)(x-1)}\frac{x}{2x+1}-\frac{3-x}{2(x+3)}=\frac{(2x+1)(x-1)x}{(x+3)(x-1)(2x+1)}+\frac{3-x}{2(x+3)}=\frac{x}{x+3}+\frac{3-x}{2(x+3)}=\frac{2x+3-x}{2(x+3)}=\frac{x+3}{2(x+3)}=\frac{1}{2} \).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Составьте приведенный квадратный трехчлен, корнями которого являются числа: \( a+5 \) и \( a-5 \).

Решение №2557: \( (a+5)+(a-5)=-b \Rightarrow -b=-(a+5+a-5)=-2a (a+5)(a-5)=c \Rightarrow c=a^{2}-5a+5a-25=a^{2}-25 ax^{2}-2ax+a^{2}-25=0 \).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Разложите на линейные множетели выражение: \( mx^{2}-(m^{2}-1)x-m \).

Решение №2566: \( mx^{2}-(m^{2}-1)x-m=mx^{2}-(m^{2}x-x)-m =mx^{2}-m^{2x}+x-m=mx(x-m)+(x-m)=(x-m)(mx+1) \).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Разложите на линейные множетели выражение: \( 2x^{2}-(a+3)x+a+1 \).

Решение №2569: \( 2x^{2}-(a+3)x+a+1=2x^{2}-ax-3x+a+1=2x^{2}-2x-x-ax+a+1=2x(x-1)-(x-1)-a(x-1)=(x-1)(2x-1-a) \).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Разложение квадратного трехчлена на линейные множетели,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Разложите на линейные множетели выражение: \( 12s^{2}+7st+t^{2} \).

Решение №2574: \( 12s^{2}+7st+t^{2}=12s^{2}+4st+t^{2}=4s(3s+t)+t(3s+t)=(3s+t)(4s+t) \).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится \( 2\frac{1}{12} \). Найдите исходную дробь.

Решение №2575: Пусть знаменатель дроби равен \( x \), а числитель на 1 меньше знаменателя, то имеем \( x-1 \) и дробь равна, \( \frac{x-1}{x} \), а ей обратная \( \frac{x}{x-1} \). Их сумма равна \( 2\frac{1}{12} \), отсюда: \( \frac{x-1}{x}+\frac{x}{x-1}=2\frac{1}{12} \frac{12(x-1)^{2}+12x*x}{12x(x-1)}=\frac{25(x-1)x}{12(x-1)x}; \frac{12x^{2}-24x+12x^{2}-25x^{2}+25x}{12x(x-1)}=0 \frac{-x^{2}+x+12}{12x(x-1)}=0 -x^{2}+x+12=0; 12x(x-1)\neq 0; x\neq 0, x\neq 1 D=1-4*(-1)-12=49=7^{2} x_{1}=\frac{-1-7}{-2}=\frac{-8}{-2}=4 x_{2}=\frac{-1+7}{-2}=-3 \), если \( x=4; 4-1=3 \frac{3}{4} \) - дробь; если \( x=-3, -3-1=-4 -\frac{4}{3} \) - не удовлетворяет условиям.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Числитель несократимоой обыкновенной дроби на 5 меньше ее знаменателя. Если числитель уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 16, то дробь уменьшится на \( \frac{1}{3} \). Найдите эту дробь.

Решение №2577: Пусть знаменатель дроби равен \( x \), то числитель \( x-5 \), а дробь \( \frac{x-5}{x} \). Если числитель уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 16, то дробь примет вид \( \frac{x-5-2}{x+16}=\frac{x-7}{x+16} \) и дробь уменьшится на \( \frac{1}{3} \), отсюда : \( \frac{x-5}{x}-\frac{x-7}{x+16}=\frac{1}{3} \frac{3(x-5)(x+16)-3x(x-7)-_{}(x^{2}+16x)}{3x(x+16)}=0 \frac{(3x-15)(x+16)-3x^{2}+21x-x^{2}-16x}{3x(x+16)}=0 \frac{3x^{2}+48x-15x-240-3x^{2}-x^{2}+5x}{3x(x+16)}=0 -x^{2}+38x-240=0 3x(x+16)\neq 0; x\neq 0; x\neq -16 D=38^{2}-4*(-1)*(-240)=1444-960=484=22^{2} x_{1}=\frac{-38-22}{2*(-1)}=30 x_{2}=\frac{-38+22}{-2}=8 x=8, \frac{8-5}{8}=\frac{3}{8} \).

Ответ: \frac{3}{8}

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше ее знаменателя. Если из числителя и знаменателя вычесть 1, то дробь уменьшится на \( \frac{1}{12} \). Найдите эту дробь.

Решение №2578: Пусть знаменатель дроби равен \( x \), числитель на 1 меньше знаменателя, то дробь имеет вид \( \frac{x-1}{x} \). Если из числителя и знаменателя вычесть 1, то дробь \( \frac{x-1-1}{x-1}=\frac{x-2}{x-1}\) уменьшится на \( \frac{1}{12} \). \( \frac{x-1}{x}-\frac{x-2}{x-1}=\frac{1}{12} \frac{12(x-1)^{2}-12x(x-2)-(x^{2}-x)}{12x(x-1)}=0 \frac{12(x^{2}-2x+1)-12x^{2}+24x-x^{2}+x}{12x(x-1)}=0 \frac{12x^{2}-24x+12-12x^{2}+24x-x^{2}+x}{12x(x-1)}=0 -x^{2}+x+12=0 12(x-1)\neq 0; x\neq 0; x\neq 1 D=1-4*(-1)*12=1+48=49=7^{2} x_{1}=\frac{-1-7}{-2}=4 x_{2}=\frac{-1+7}{-2}=-3 x=4, 4-1=3; \frac{3}{4} \).

Ответ: NaN

Из пункта \( А\) в пункт \( В\), удаленный от \( А\) на расстояние 100 км, отправился междугородный автобус. Из-за ненастной погоды он ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей, чем предполагалось по расписанию, и поэтому прибыл в пункт \( В\) с опозданием на 30 мин. С какой скоростью должен был ехать автобус по расписанию?

Решение №2583: Пусть скорость автобуса по расписанию \( x \) км/ч, он ехал со скоростью \( x-10 \) км/ч. 30 минут=\( \frac{1}{2} \) часа. Время по расписанию \( \frac{100}{x} \) ч, во время непогоды \( \frac{100}{x-10} \) ч, отсюда \( \frac{100}{x-10}-\frac{100}{x}=\frac{1}{2} \frac{100}{x-10}-\frac{100}{x}-\frac{1}{2}=0 \frac{100*2*x-100*2(x-10)-x(x-10)}{2x(x-10)}=0 \frac{200x-200x+2000-x^{2}+10x}{2x(x-10)}=0 -x^{2}+10x+2000=0 2x(x-10)\neq 0; x\neq 0; x\neq 10 D=10^{2}-4*(-1)*2000=8100 x_{1}=\frac{-10-90}{-2}=50 x_{2}=\frac{-10+90}{-2}=-40 \).

Ответ: 50 км/ч

Велосипедист ехал с определенной скоростью из деревни на станцию, находящуюся от деревни на расстоянии 32 км. Обратно он ехал со скоростью на 1 км/ч большей, затратив на обратный путь на 8 мин меньше, чем на путь от деревни до станции. С какой скоростью ехал велосипедист до станции?

Решение №2584: Пусть скорость велосипедиста до турбазы \( x \) км/ч, обратно он снизил скорость на 4 км/ч и ехал со скоростью \( x-4 \) км/ч. Расстояние 16 км он проехал туда и обратно за 3 часа 20 минут. 3 часа 20 минут= \( 3\frac{20}{60}=\frac{10}{3} \). \( \frac{16}{x}+\frac{16}{x-4}=\frac{10}{3} \frac{16*3(x-4)+16*3x+10x(x-4)}{3x(x-4)}=0 \frac{48x-192+48x-10x+40x}{3x(x-4)}=0 -10x^{2}+136x-192=0 3x(x-4)\neq 0; x\neq 0; x\neq 4 D=136^{2}-4*(-10)*(-192)=18496-7680=10816=104^{2} x_{1}=\frac{-136-104}{2*(-10)}=\frac{-240}{-20}=12 x_{2}=\frac{-136+104}{-20}=1,6 x=12; 12-4=8 \).

Ответ: 8 км/ч

Автобус-экспресс отправился от автовокзала в аэропорт, находящийся от автовокзала на расстоянии 40 км. Через 10 мин вслед за автобусом выехал пассажир на такси. Скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости такси и автобуса, если в аэропорт они прибыли одновременно.

Решение №2585: Пусть скорость автобуса \( x\) км/ч, то скорость такси \(x+20 \) км/ч, время движения автобуса \( \frac{40}{x} \), а такси \( \frac{40}{x+20} \), автобус вышел на 10 минут раньше, т.е. на \( \frac{1}{6} \) ч. Составляем уравнение: \( \frac{40}{x}-\frac{40}{x+20}=\frac{1}{6} \frac{40*6(x+20)-40*6x-x(x+20)}{6x(x+20)}=0 \frac{240x+4800-240x-x^{2}-20x}{6x(x+20)}=0 -x^{2}-20x+4800=0 6x(x+20)\neq 0; x\neq 0; x\neq -20 D=(-20)^{2}-4*(-1)*4800=400+19200=19600=140^{2} x_{1}=\frac{20-140}{-2}=\frac{-120}{-2} x_{2}=\frac{20+140}{-2}=-80 x=60, 60+20=80 \) - скорость такси.

Ответ: 80 км/ч, 60 км/ч

Поезд должен был пройти 54 км. Пройдя 14 км, он был задержан у семафора на 10 мин. Увеличив после этого скорость на 10 км/ч, он прибыл на место назначения с опозданием на 2 мин. Определите первоначальную скорость поезда.

Решение №2589: Пусть первоначальная скорость поезда \( x \) км/ч то по расписанию время прохождения\( \frac{54}{x} \)ч. Фактически \( \frac{14}{x} \), затем 10 минут \( \frac{1}{6} \), затем \( \frac{54-14}{x+10}=\frac{40}{x+10} \)ч и опоздал на 2 минуты. 2мин=\( \frac{1}{30}\). Отсюда: \( \frac{54}{x}-\frac{1}{30}=\frac{14}{x}+\frac{40}{x+10}+\frac{1}{6} \frac{54}{x}-\frac{14}{x}=\frac{40}{x+10}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}; \frac{40}{x}=\frac{40}{x+10}+\frac{1}{5} \frac{40}{x}=\frac{200+x+10}{5(x+10); \frac{40}{x}}=\frac{210+x}{5(x+10)}; x\neq 0; x+10\neq 0 x^{2}+210x=200(x+10) x^{2}+10x-2000=0 D=8100 x_{1}=\frac{-10-90}{2}=-50 x_{2}=\frac{-10+90}{2}=40 \).

Ответ: 40 км/ч

Велосипедист проехал 40 км от города до фермы. Возвращаясь, он сначала 2 ч ехал с той же скоростью, а затем сделал остановку на 20 мин. После остановки велосипедист увеличил скорость на 4 км/ч и затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь от города до фермы. С какой скоростью двигался велосипедист после остановки?

Решение №2593: Пусть первоначальная скорость была \( x \) км/ч, обратно он проехал 2ч и проехал \( 2x \) км, осталось \(40-2x \) км. После остановки на 20 минут, он скорость увеличил и ехал \( x+4 \) км/ч, отсюда: \(\frac{40}{x}=\frac{40-2x}{x+4}+2+\frac{1}{3} \frac{40}{x}=\frac{40-2x}{x+4}+\frac{7}{3}; \frac{40}{x}=\frac{120-6x+7x+28}{3(x+4)} \frac{40}{x}=\frac{x+148}{3x+12}; 40(3x+2)=x(x+148) x^{2}+148x-120x-480=0 x^{2}+28x-480=0 x^{2}+28x-480=0 k=14 x_{1}=-k\pm \sqrt{k^{2}-c}=-14\pm \sqrt{196+480}=-14\pm \sqrt{676}=-14\pm 2b x_{1}=-14-2b=-40 x_{2}=-14+2b=12 x=12, 12+4=16 \).

Ответ: 16 км/ч

Моторная лодка прошла 54 км по течению реки и 42 км против течения за то же время, что она проходит 96 км в стоячей воде. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение №2598: Пусть скорость лодки в стоячей воде \( x \) км/ч, время движения в стоячей воде \( \frac{96}{x} \).Скорость лодки по течению \( x+3 \) км/ч, время \( \frac{54}{x+3} \) ч. Скорость лодки против течения \( x-3 \) км/ч, время \( \frac{42}{x-3} \) ч, отсюда \( \frac{54}{x+3}+\frac{42}{x-3}=\frac{96}{x} \frac{54x(x-3)+42x(x+3)-96(x^{2}-9)}{x(x-3)(x+3)}=0 \frac{54x^{2}-162x+42x^{2}+126x-96x^{2}+864}{x(x-3)(x+3)}=0 -36x+864=0; x(x-3)(x+3)\neq 0 -36x=-864 x=24 \).

Ответ: 24 км/ч

Моторная лодка прошла по течению реки расстояние 6 км, затем по озеру 10 км, затратив на весь путь 1 ч. С какой скоростью она шла по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

Решение №2602: пусть скорость лодки по озеру \( x \) км/ч, то скорость лодки по течению \( x+3 \) км/ч. По течению реки лодка прошла 6 км, а по озеру 10 км, затратив на весь путь 1 час. Составляем уравнение: \( \frac{6}{x+3}+\frac{10}{x}=1 \frac{6x+10(x+3)-x(x+3)}{x(x+3)}=0 \frac{6x+10x+30-x^{2}-3x}{x(x+3)}=0 -x^{2}+13x+30=0 x(x+3)\neq 0 D=13^{2}-4*(-1)*30=169+120=1289=17^{2} x_{1}=\frac{-13-17}{-2}=15 x_{2}=\frac{-13+17}{-2}=-2 \).

Ответ: 15 км/ч

Турист проплыл на байдарке 15 км против течения реки и 14 км по течению, затратив на все путешествие столько же времени, сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть по озеру 30 км. Зная, что скорость течения реки равна 1 км/ч, найдите скорость движения туриста по озеру.

Решение №2604: Пусть скорость движения туриста по озеру равна \( x \) км/ч, зная, что скорость течения реки равна 1 км/ч, скорость байдарки по течению \( x+1\) км/ч, а против течения \( x-1 \) км/ч. Время против течения \( \frac{15}{x-1} \) ч, по течению \( \frac{14}{x+1} \) ч, по озеру \( \frac{30}{x \). Отсюда: \( \frac{15}{x-1}+\frac{14}{x+1}=\frac{30}{x} \frac{15x+15+14x-14}{x^{2}-1}=\frac{30}{x} \frac{29x+1}{x^{2}-1}=\frac{30}{x} (29x+1)x=30(x^{2}-1) 29x^{2}+x=30x^{2}-30 x(x^{2}-1)\neq 0 -x^{2}+x+30=0 D=1-4*(-1)*30=1+120=121=11^{2} x_{1}=\frac{-1-11}{-2}=6 x_{2}=\frac{-1+11}{-2}=-5 \).

Ответ: 6 км/ч

Моторная лодка прошла 7 км по течению реки и 10 км против течения, затратив на путь по течению на 0,5 ч меньше, чем на путь против течения. Собственная скорость лодки равна 12 км/ч. Найдите скорость хода лодки против течения.

Решение №2606: Пусть \( x \) км/ч - скорость течения реки, тогда \( 12+x\) км/ч скорость лодки по течению, \( 12-x \) км/ч - скорость лодки против течения. Время по течению реки \( \frac{7}{12+x} \) ч, а против течения реки \( \frac{10}{12-x}\) ч. На путь по течению затрачено на 0, 5 ч меньше, чем против течения, отсюда \( \frac{7}{12+x}+0,5=\frac{10}{12-x} \frac{7}{12+x}-\frac{10}{12-x}+\frac{1}{2}=0 \frac{7*2(12-x)-10*2(12+x)+12^{2}-x^{2}}{2(12+x)(12-x)}=0 \frac{168-14x-240+20x+144-x^{2}}{2(12+x)(12-x)}=0 -x^{2}-34x+72=0 2(12+x)(12-x)\neq 0 D=(-34)^{2}-4*(-1)*72=1156+288=1444=38^{2} x_{1}=\frac{34-38}{-2}=2 x_{2}=\frac{34+38}{-2}=-36 \) -не удовлетворяет условиям.

Ответ: 2 км/ч, 10 км/ч.

Токарь должен был обработать 120 деталей к определённому сроку.Применив новый резец, он стал обтачивать в час на 20 деталей больше и поэтому закончил работу на 1ч раньше срока.Сколько деталей он должен был обрабатывать по плану?

Решение №2610: Пусть по плану токарь должен был обрабатывать \(x \) деталей в час, а фактически обрабатывал \( x+20 \) в час. Работу закончил на 1 час раньше, отсюда:\( \frac{120}{x}-\frac{120}{x+20}=1 \frac{120(x+20)-120x-x(x+20)}{x(x+20)}=0 \frac{120x+2400-120x-x^{2}-20x}{x(x+20)}=0 -x^{2}-20x+2400=0 x(x+20)\neq 0 D=(-20)^{2}-4*(-1)*2400=400+9600=10000=100^{2} x_{1}=\frac{20-100}{-2}=40 x_{2}=\frac{20+100}{-2}=-60 \).

Ответ: 40 деталей