Решение №16732: Произведение чисел \(n-1, n, n+1\) и \(n+2\) равно $(n^2+n)(n^2+n-2)=(N+1)(N-1)$, где \(N=n^2+n-1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16733: Сначала докажите, что \(n-1)^3+n^3+(n+1)^3=3n(n^2+2)\)). Затем воспользуйтесь задачей \(4.33\)

Ответ: нет ответа

Решение №16734: нет указаний

Ответ: 9b(a² -ab+b²)

Решение №16735: Сначала воспользовавшись задачей \(6.14\), докажите, что $(x^3+y^3)^3-(x^3-2y^3)^3=9y^3(x^6-x^3y^3+y^6). Затем докажите, что $x^3-(x\frac{x^3-2y^3}{x^3+y^3})^3=\frac{9x^3y^3(x^6-x^3y^3+y^6)}{(x^3+y^3)^3}= y^3-(y\frac{y^3-2x^3}{x^3+y^3})^3

Ответ: нет ответа

Решение №16736: Разность \(Р(а)-Р(b)\) представляет собой сумму выражений вида \(m(a^k-b^k)\) с целыми коэффициентами \( m\). Число \(a^k-b^k\) делится на \(a-b\)

Ответ: нет ответа

Решение №16737: Воспользуйтесь задачей \(6.16\) и тем, что \(Р(14)-Р(6)=9-5=4\) не делится на \(14-6=8\)

Ответ: нет ответа

Решение №16738: Число \(7^{2n}-4^{2n}=(7^2)^n-(4^2)^n\) делится на \(7^2-4^2=33\) для любого \( n\)

Ответ: нет ответа

Решение №16739: Воспользуйтесь равенством $11^{10}-1=(11-1)(11^9+11^8+\ldots+11+1)$; во второй скобке стоит сумма десяти чисел, оканчивающихся на \(1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16740: Воспользуйтесь тем, что \(2^{1000}-1=(2^{20})^{50}-1\) и \(20^{20}-1\) делится на \(25\) согласно задаче \(6.8\)

Ответ: нет ответа

Решение №16741: Число \(10^{6n+r}-10^r=10^r(10^{6n}-1)\) делится на $10^6-1=999999=7\cdot142857$

Ответ: нет ответа

Решение №16742: Запишем исходное число\( а\) в виде \(А=10a+b\) и переставим последнюю цифру \(b\) в начало. В результате получим число \(B=10^{6n-1}b+a\). Число \(10B-A=(10^{6n}-1)^b делится на \(10^6-1=999\cdot1001=999\cdot143\cdot7\), поэтому оно делится на \(7\). Следовательно, число \(b\) тоже делится на \(7\)

Ответ: нет ответа

Решение №16743: Пусть \(2^{2n}-2=mn\), где число \( m\) целое. Тогда $2^{2^n-1}-2=2(2^{mn}-1)$, число \(2^{mn}-1\) делится на \(2^n-1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16744: Воспользуйтесь тем, что $\frac{n^{n-1}-1}{n-1}=n^{n-2}+n^{n-3}+\ldots+n+1$ и каждое из \(n-1\) чисел \(1, n, \ldots, n^{n-3}, n^{n-2}$ при делении на \(n-1\) дает остаток \(1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16745: При нечетном \( n\) выполняются равенства \(x+y)(x^{n-1}+(-1)x^{n-2}y+\ldots+(-1)^{k-1}x^{n-k}y^{k-1}+\ldots+(-1)^{n-1}y^{n-1}=x^n+(-x^{n-1}y+x^{n-1}y)+(x^{n-2}y^2-x^{n-2}y^2)+\ldots+(xy^{n-1}-xy^{n-1})+y^n=x^n+y^n

Ответ: x^(n-2)y-x^(n-2)y+x^(n-3)y² -…-xy^(n-2)+y^(n-1)

Решение №16746: Воспользуйтесь тем, что \(a^n+b^n\) делится на \(a+b\) при нечетном \( n\)

Ответ: нет ответа

Решение №16747: В разложении \(21^{10}-1=(21^5-1)(21^5+1)\) число \(21^5+1\) делится на \(21+1=22\), а число $21^5-1=(21-1)(21^4+21^3+21^2+21+1)\) делится на \(100\), поскольку второй множитель - сумма пяти чисел, оканчивающихся на \(1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16748: Воспользуйтесь равенством $2^9+2^{99}+2^9(2^{90}+1)=2^9(1024^9+1)$. Первый множитель делится на \(4\), второй делится на \(1024+1=1025\), поэтому второй множитель делится на \(25\)

Ответ: нет ответа

Решение №16749: \(\frac{x^{4n}+x^{4n+4}+\ldots+x^8+x^4+1}{x^{2n}+x^{2n+2}+\ldots+x^4+x^2+1}=\frac{x^{4n+4}-1}{x^4-1}:\frac{x^{2n+2}-1}{x^2-1}=\frac{x^{2n+2}+1}{x^2+1}=\frac{(x^2)^{n+1}+1}{x^2+1}\). Если число \(n+1\) нечетно, то \(y^{n+1}+1\) делится на \(y+1\). А если \(n+1=2m\), то при делении \((x^2)^{n+1}+1=x^{4m}+1\) на \(x^2+1\) в остатке получается \(2\), так как \(x^{4m}-1\) делится на $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$ и потому делится на \(x^2+1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16750: Произведение многочленов $1+x+x^2+\ldots+x^{99}+x^{100}=\frac{x^{101}-1}{x-1}$ и $1-x+x^2-x^3+\ldots-x^{99}+x^{100}=\frac{X^{101}+1}{x+1}$ равно \(\frac{x^{202}-1}{x^2-1}

Ответ: 1+х² +х⁴+…+х^198+х^200

Решение №16751: Воспользуйтесь тем, что \(k^n+(n-k)^n\) делится на \(k+(n-k)=n\) при нечетном \( n\)

Ответ: нет ответа

Решение №16752: В разложении $3^{2^n}-1=(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)\ldots(3^{2^{n-1}}+1)\) все множители, кроме второго, делятся на \(2\) и не делятся на \(4\). В самом деле, согласно примеру \(4\) на с. \(20\) при делении на \(4\) квадрат нечетного числа дает в остатке \(1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16753: нет указаний

Ответ: (x-y)^2+(x+y)^2

Решение №16754: нет указаний

Ответ: (xu-yʋ)²+(xʋ+yu)²

Решение №16755: Воспользуйтесь тем, что \(2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=(x-y)^2(y-z)^2+(z-x)^2\)

Ответ: нет ответа

Решение №16756: Воспользуйтесь тем, что \(2(x^3+y^3+z^3-3xyz)=(x+y+z)((x-y)^2(y-z)^2+(z-x)^2\)

Ответ: нет ответа

Решение №16757: нет указаний

Ответ: x²+y²=a⁵ -5a³b+5ab²

Решение №16758: Из данного равенства следует равенство \((x+y)(x+z)=2yz\). Если числа \(x, y\) и \(z\) нечетны, то левая часть делится на \(4\), а правая не делится

Ответ: Нет

Решение №16759: нет указаний

Ответ: х²+х+1

Решение №16760: нет указаний

Ответ: (z-x)² +(x-y)² +(z-x)(x-y)

Решение №16761: \(\frac{\left ( 2p-q \right )^{2}+2q^{2}-3pq}{2p^{-1}+q^{2}}:\frac{4p^{2}-3pq}{2+pq^{2}}=\frac{4p^{2}-4pq+q^{2}+2q^{2}-3pq}{\frac{2}{p}+q^{2}}\cdot \frac{2+pq^{2}}{p\left ( 4p-3q \right )}=\frac{\left ( 4p^{2}-7pq+3q^{2} \right )p}{2+pq^{2}}\cdot \frac{2+pq^{2}}{p\left ( 4p-3q \right )}=\frac{\left ( p-q \right )\left ( 4p-3q \right )}{4p-3q}=p-q=0.78-\frac{7}{25}=0.78-0.28=0.5\)

Ответ: 0.5

Решение №16762: \(\frac{a^{3}-a-2b-\frac{b^{2}}{a}}{\left ( 1-\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^{2}}} \right )\left ( a+\sqrt{a+b} \right )}:\left ( \frac{a^{3}+a^{2}+ab+a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}+\frac{b}{a-b} \right )=\frac{a^{4}-\left ( a^{2}+2ab+b^{2} \right )}{\left ( a-\sqrt{a+b} \right )\left ( a+\sqrt{a+b} \right )}:\left ( \frac{a\left ( a+1 \right )\left ( a+b \right )}{\left ( a-1 \right )\left ( a+b \right )}+\frac{b}{a-b} \right )=\frac{a^{4}-\left ( a+b \right )^{2}}{a^{2}-a-b}:\left ( \frac{a\left ( a+1 \right )}{a-b}+\frac{b}{a-b} \right )=\frac{\left ( a^{2}+a+b \right )\left ( a-b \right )}{a^{2}+a+b}=a-b=23-22=1\)

Ответ: 1

Решение №16763: \(\frac{\sqrt{2}\left ( x-a \right )}{2x-a}-\left ( \left ( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x}+\sqrt{a}} \right )^{2}+\left ( \frac{\sqrt{2x}+\sqrt{a}}{2\sqrt{a}} \right )^{-1} \right )^{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}\left ( x-a \right )}{2x-a}-\left ( \frac{x}{\left ( \sqrt{2x}+\sqrt{a} \right )}+\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{2x}+\sqrt{a}} \right )^{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}\left ( x-a \right )}{\left ( \sqrt{2x}-\sqrt{a} \right )\left ( \sqrt{2x}+\sqrt{a} \right )}-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{2a}}{\sqrt{2x}+\sqrt{a}}=\frac{x\sqrt{2}-a\sqrt{2}-x\sqrt{2}+\sqrt{ax}-2\sqrt{ax}+a\sqrt{2}}{2x-a}=\frac{-\sqrt{ax}}{2x-a}=\frac{-\sqrt{0.32\cdot 0.08}}{2\cdot 0.08-0.32}=\frac{-0.16}{-0.16}=1\)

Ответ: 1

Решение №16764: \(\left ( \frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x-a}}+\frac{x-a}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}-x+a} \right ):\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}-1}=\left ( \frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x-a}}+\frac{\left ( \sqrt{x-a} \right )^{2}}{\sqrt{x-a}\left ( \sqrt{x+a}-\sqrt{x-a} \right )} \right ):\sqrt{\frac{x^{2}-a^{2}}{a^{2}}}=\left ( \frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x-a}}+\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x+a}-\sqrt{x-a}} \right )\cdot \frac{a}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}-x+a+\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x-a}{x+a-x+a}\cdot \frac{a}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\frac{2a\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{2a\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=1\)

Ответ: 1

Решение №16765: \(\frac{3a^{2}+2ax-x^{2}}{\left ( 3x+a \right )\left ( a+x \right )}-2+10\cdot \frac{ax-3x^{2}}{a^{2}-9x^{2}}=\frac{-\left ( x+a \right )\left ( x-3a \right )}{\left ( 3x+a \right )\left ( a+x \right )}-2+10\cdot \frac{x\left ( a-3x \right )}{\left ( a-3x \right )\left ( a+3x \right )}=\frac{-x+3a}{3x+a}-2+\frac{10x}{3x+a}=\frac{-x+3a-6x-2a+10x}{3x+a}=1\)

Ответ: 1

Решение №16766: \(\frac{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{\left ( \sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{2} \right )\left ( \sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2} \right )}=\frac{\sqrt{3-2\sqrt{3\cdot 2}+2}}{\left ( \sqrt[4]{3} \right )^{2}-\left ( \sqrt[4]{2} \right )^{2}}=\frac{\sqrt{\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )^{2}}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=1\)

Ответ: 1

Решение №16767: Точки \(В\) и \(С\) могут совпадать и не лежать на прямой \(О\) (рис. ниже).

Ответ: Нет.

Решение №16768: Прямые \(а\) и \(d\) проходят через точку пересечения прямых \(b\) и \(с\).

Ответ: NaN

Решение №16769: Прямые \(b\) и \(с\) могут совпадать и не проходить через точку пересечения прямых \(а\) и \(d\) (рис. ниже).

Ответ: Нет.

Решение №16770: Точки \(А\), \(С\) и \(Е\) лежат по одну сторону от данной прямой, а точки \(В\) и \(D\) — по другую (рис. ниже).

Ответ: Да. Нет.

Решение №16771: Точка \(В\) и отрезок \(АС\) лежат по разные стороны от прямой \(I\) (см. рис.).

Ответ: Да.

Решение №16772: Пусть \(О\) — точка пересечения отрезков \(АВ\) и \(CD\). Тогда отрезки \(OD\) и \(ОВ\) не пересекают прямую \(АС\) (рис. 66), поэтому точки \(О\), \(В\) и \(D\) лежат по одну сторону от прямой \(АС\).

Ответ: NaN

Решение №16773: По одну сторону от прямой могут лежать 4 отмеченные точки, а по другую сторону — 5 отмеченных точек.

Ответ: Да.

Решение №16774: Если m отмеченных точек лежит по одну сторону от прямой и \(10 — m\) — по другую, то прямая пересекает ровно \(m(1О — m)\) отрезков. Число 20 нельзя представить в виде произведения двух чисел, сумма которых равна 10.

Ответ: Нет.

Решение №16775: По разные стороны от прямой лежит либо 7 точек и З точки, либо 1 точка и 21 точка.

Ответ: 10 или 22.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: На 8, 10 или 11.