Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Сколько точек пересечения могут иметь четыре прямые, каждые две из которых пересекаются?

Решение №15964: Возможны следующие случаи (рис. 58): 1) все четыре прямые проходят через одну точку; 2) три прямые проходят через одну точку, а четвёртая прямая пересекает их в трёх других точках; З) никакие три прямые не проходят через одну точку.

Ответ: Одну, четыре или шесть.

Сколько точек пересечения могут иметь пять прямых, каждые две из которых пересекаются?

Решение №15965: Возможны следующие случаи (рис. 59): 1) все пять прямых проходят через одну точку; 2) четыре прямые проходят через одну точку, а пятая прямая не проходит через эту точку; З) три прямые проходят через одну точку, а две оставшиеся прямые через эту точку не проходят, но точка пересечения этих двух прямых лежит на одной из трёх первых прямых; 4) три прямые проходят через одну точку, а две оставшиеся прямые через эту точку не проходят, причём точка пересечения этих двух прямых не лежит ни на одной из трёх первых прямых; 5) никакие три прямые не проходят через одну точку.

Ответ: Одну, пять, шесть, восемь или десять.

На плоскости отметили три точки и через каждые две из них провели прямую. Сколько при этом могло получиться прямых?

Решение №15966: Возможны два случая: 1) точки лежат на одной прямой; 2) точки не лежат на одной прямой.

Ответ: 1 или 3.

На плоскости отметили четыре точки и через каждые две из них провели прямую. Сколько при этом могло получиться прямых?

Решение №15967: Возможны следующие случаи (рис. ниже): 1) точки лежат на одной прямой; 2) три точки лежат на одной прямой, а четвёртая точка не лежит на этой прямой; З) никакие три из данных точек не лежат на одной прямой.

Ответ: 1, 4 или 6.

На плоскости отметили пять точек и через каждые две из них провели прямую. Сколько при этом могло получиться прямых?

Решение №15968: Возможны следующие случаи (рис. ниже): 1) все пять точек лежат на одной прямой; 2) четыре точки лежат на одной прямой, а пятая не лежит на этой прямой; З) три точки лежат на одной прямой, а две оставшиеся точки не лежат на одной прямой, но содержащая их прямая проходит через одну из трёх первых точек; 4) три точки лежат на одной прямой, а две оставшиеся точки не лежат на одной прямой, причём содержащая их прямая не проходит ни через одну из трёх первых точек; 5) никакие три точки не лежат на одной прямой.

Ответ: 1, 5, 6, 8 или 10.

В каком наибольшем числе точек могут пересекаться шесть прямых?

Решение №15969: Из шести прямых можно составить 15 пар.

Ответ: В 15 точках.

В каком наибольшем числе точек могут пересекаться п прямых?

Решение №15970: Первую прямую можно выбрать п способами, после этого вторую прямую можно выбрать n — 1 способом. При этом каждую точку пересечения прямых мы посчитаем дважды.

Ответ: В \(\frac{n\left ( n-1 \right )}{2}\)

На прямой отметили четыре точки. Сколько получилось отрезков с концами в этих точках?

Решение №15971: Из четырёх точек можно составить 6 пар.

Ответ: 6.

На прямой отметили n точек. Сколько получилось отрезков с концами в этих точках?

Решение №15972: Один конец отрезка можно выбрать п способами, после этого другой конец отрезка можно выбрать n — 1 способом. При этом каждый отрезок мы посчитаем дважды.

Ответ: \(\frac{n\left ( n-1 \right )}{2}\)

Точки \(А\), \(В\), \(С\) и \(D\) попарно различны, точки \(А\), \(В\) и \(С\) лежат на одной прямой, точки \(В\), \(С\) и \(D\) лежат на одной прямой. Докажите, что точки \(А\), \(В\), \(С\) и \(D\) лежат на одной прямой.

Решение №15973: Точки \(А\) и \(D\) лежат на прямой \(ВС\).

Ответ: NaN

Решить уравнения\(log_{2}(2\cdot 4^{x-2}-1)=2x-4\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 2

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, углы. Измерение углов, Смежные углы,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Докажите, что биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Пусть {M} — искомая точкаЛ ибо {M} лежит на отрезке {AB и AM/MB = 1/3}, либо {A} лежит на отрезке {MB и AM/AB = 1/2}

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, углы. Измерение углов, Смежные углы,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Лучь света, исходящий из точки \(M\), зеркально отразившись от прямой \(AB\) в точке \(C\), попав в точку \(N\). Докажите, что биссектриса угла \(MCN\) пермендикулярна прямой \(AB\). (Угол падения равен углу отражения).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, углы. Измерение углов, Смежные углы,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Точка \(M\) лежит внутри угла \(AOB\), \(OC\) — биссектриса этого угла. Докажите, что угол \(МOС\) равен полуразносности углов \(AOM\) и \(BOM\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, углы. Измерение углов, Смежные углы,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Точка \(M\) лежит внутри угла \(AOB\), \(OC\) — биссектриса этого угла. Докажите, что угол \(МOС\) равен полусумме углов \(AOM\) и \(BOM\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, углы. Измерение углов, Смежные углы,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Из точки на лист бумаги провели четыре луча, делящих плоскость на четыре угла. Затем лист разрезали по биссектрисам этих углов на четыре части (которые также являются углами). Докажите, что два из этих углов образуют в сумме \(180^{o}\), и два других — тоже.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Из точки \(О\) проведены лучи \(ОА\), \(ОВ\) и \(ОС\) так, что \(\angle AOB=140^{\circ} ,\angle BOC=60^{\circ}\) и \(\angle AOC=80^{\circ}\) . Найдите угол между биссектрисами углов \(АОС\) и \(BOC\).

Решение №15981: Из условия задачи следует, что луч \(ОС\) расположен внутри угла \(AOB\) (рис. ниже).

Ответ: 70^{\circ}

Из точки \(О\) проведены лучи \(ОА\), \(ОВ\) и \(ОС\) так, что \(\angle AOB=140^{\circ} ,\angle BOC=60^{\circ}\) и \(\angle AOC=160^{\circ}\) . Найдите угол между биссектрисами углов \(АОС\) и \(ВОС\).

Решение №15982: Из условия задачи следует, что луч \(ОС\) расположен вне угла \(AOB\) (рис. ниже).

Ответ: 110^{\circ}

Докажите, что если угол между биссектрисами углов \(АОВ\) и \(ВОС\) прямой, то точки \(А\), \(О\) и \(С\) лежат на одной прямой.

Решение №15983: Рассмотрите угол \(АОВ\) и его биссектрису \(ОМ\). Есть два луча \(ОN_{1}\) и \(ОN_{2}\), образующих прямой угол с лучом \(ОМ\) (рис. ниже). Биссектрисой угла \(ВОС\) может быть только луч \(ОN_{1}\) , поскольку \(2\angle BON_{2}> 180^{\circ}\). при этом \(\angle AOC= 180^{\circ}\).

Ответ: NaN

Неразвёрнутые углы \(АОС\) и \(ВОС\) равны \(\alpha\) и \(\beta\) . Найдите угол между их биссектрисами.

Решение №15984: Лучи \(ОА\) и \(ОВ\) лежат либо по одну сторону от прямой \(ОС\), либо по разные стороны.

Ответ: \(\frac{\alpha +\beta }{2}\) или \(\frac{\left | \alpha -\beta \right |}{2}\)

Из точки \(О\) выходят лучи \(ОА\), \(ОВ\), \(ОС\) и \(ОD\) следующие друг за другом по часовой стрелке. Сумма углов \(АОВ\) и \(COD\) равна 180^{\circ} . Найдите угол между биссектрисами углов \(АОС\) и \(ВОD\)

Решение №15985: Пусть \(\angle AOB = 2\alpha , \angle BOC = 2\beta , \angle COD = 2\gamma\) . По условию \(2\alpha +2\gamma =180^{\circ}\). На биссектрисах \(AOC\) \(BOD\) или на их продолжениях можно выбрать точки \(K\) и \(M\) так, что \(\angle KOC=\alpha +\beta и \angle BOM = \beta + \gamma\) . Поэтому \(\angle KOM = \angle KOC + \angle BOM - \angle BOC = \left ( \alpha +\beta \right )+\left ( \beta +\gamma \right )- 2\beta = \alpha +\gamma =90^{\circ}\).

Ответ: 90^{\circ}

Какой угол образуют часовая и минутная стрелки: а) в 9 ч 30 мин; б) в 10 ч 40 мин?

Решение №15986: За 30 мин часовая стрелка позоо вернётся на \(15^{\circ}\). б) За 40 мин часовая стрелка повернётся на \(20^{\circ}\) .

Ответ: а) 105^{\circ}, б) 80^{\circ}

Какой угол (острый или тупой) образуют стрелки часов: а) в З ч 1 мин; б) в 2 ч 59 мин?

Решение №15987: В З часа стрелки часов образуют прямой угол. Минутная стрелка движется быстрее часовой.

Ответ: а) острый, б) тупой

В некоторый момент угол между часовой и минутной стрелками равен \(\alpha\). Через час он снова равен \(\alpha\). Найдите все возможные значения \(\alpha\).

Решение №15988: За час минутная стрелка возвращается в исходное положение, а часовая поворачивается на \(30^{\circ}\). В начальный момент угол между стрелками может либо увеличиваться, либо уменьшаться.

Ответ: 15^{\circ} или 165^{\circ}

В некоторый момент угол между часовой и минутной стрелками равен \(\alpha\). Через полчаса он снова равен \(\alpha\). Найдите все возможные значения \(\alpha\).

Решение №15989: За полчаса минутная стрелка поворачивается на \(180^{\circ} \), а часовая на \(15^{\circ}\) . В начальный момент угол между стрелками может либо увеличиваться, либо уменьшаться.

Ответ: 82,5^{\circ} или 97,5^{\circ}

Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют угол \(180^{\circ}\) ?

Решение №15990: За 12 часов минутная стрелка совершает 12 оборотов, а часовая один оборот, поэтому минутная стрелка обгоняет часовую 11 раз. Следовательно, моменты совпадения стрелок разбивают время от полуночи до полудня (и от полудня до полуночи) на 11 равных отрезков. На каждом таком отрезке стрелки два раза перпендикулярны (когда минутная стрелка впереди и когда позади часовой на \(90^{\circ}\) ).

Ответ: 44 раза.

Имеется угольник с углом \(40^{\circ}\) . Как с его помощью построить угол, равный \(20^{\circ}\)?

Решение №15991: \(20^{\circ}=180^{\circ}-4*40^{\circ}\)

Ответ: NaN

Имеется угольник с углом \(70^{\circ}\) . Как с его помощью построить угол, равный \(40^{\circ}\)?

Решение №15992: \(40^{\circ}=180^{\circ}-2*70^{\circ}\)

Ответ: NaN

Имеется угольник с углом 19^{\circ} . Как с его помощью построить угол, равный 1^{\circ}

Решение №15993: \(1^{\circ}=19*19^{\circ}-360^{\circ}\)

Ответ: NaN

Отметьте на прямой четыре точки так, чтобы попарные расстояния между ними были следующие: 2, З, 5, 7, 10 и 12.

Решение №15994: На отрезке длиной 12 нужно последовательно отложить отрезки длиной 2, З и 7.

Ответ: NaN

Отметьте на прямой четыре точки так, чтобы попарные расстояния между ними были следующие: 2, З, 5, 7, 9 и 12.

Решение №15995: На отрезке длиной 12 нужно последовательно отложить отрезки длиной З, 2 и 7.

Ответ: NaN

Можно ли провести из одной точки на плоскости пять лучей так, чтобы среди образованных ими углов было ровно четыре острых? Рассматриваются углы не только между соседними, но и между любыми двумя лучами.

Решение №15996: Пример требуемого расположения лучей приведён на рисунке ниже.

Ответ: Можно.

Отметьте точки \(B\) и \(C.\) Проведите через них прямую. Проведите еще одну прямую так, чтобы она проходила через точку \(B,\) но не проходила через точку \(C.\) Сколько общих точек имеют эти прямые?

Решение №15997: Одну

Ответ: 1

Отметьте две точки и от руки проведите через них прямую. Проверьте правильность построения с помощью линейки. Какую аксиому вы использовали?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

На прямой точки \(E\) и \(F\) лежат по разные стороны от точки \(D.\) Как расположены точки \(D\) и \(F\) относительно точки \(E?\) Может ли точка \(F\) лежать между точками \(D\) и \(E\)?

Решение №15999: По одну сторону. Не может

Ответ: NaN

Точки \(M\) и \(N\) лежат на прямой по одну сторону от точки \(K.\) Какая из этих трех точек не может лежать между двумя другими?

Решение №16000: Точка \(K.\)

Ответ: NaN

Отметьте точки \(A\) и \(B.\) Проведите луч \(AB.\) Являются ли дополнительными лучи \(AB\) и \(BA?\)

Решение №16001: Нет

Ответ: NaN

Решить уравнение: \(log_{3}\left ( 3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9} \right )=log_{5}0,2\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {3;10}

Решить уравнение: \(log_{x+1}(x^{2}+8x+37)=2\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \varnothing

Решить уравнение: \(log_{x+2}x^{2}-x-13=1\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 5

Решить уравнение: \(log_{x+2}(2x^{2}-4x+11)=2\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 7

Решить уравнение: \(log_{\frac{1}{4-3x}}10x^{2}-23x+14=-2\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: -2

Решить уравнение: \(log_{2}(3x^{2}-x-4)=log_{2}(1-3x)\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: -0.8333333333333334

Решить уравнение: \(log_{1/3}(x^{2}+4x-3)=log_{1/3}(3x-1)\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1