Решение №15737: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2x^{3}+2x^{2}-3x+1 & & \\ -1< x\neq 0 & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( 2x^{3}+2x^{2}-3x+1=\left ( 1+x \right )^{3}\Leftrightarrow 2x^{3}+2x^{2}-3x+1=1+3x+3x^{2}+x^{3} \Leftrightarrow x^{3}+x^{2}-6x=0 \Leftrightarrow x\left ( x^{2}-x-6 \right )=0 \), откуда \( x_{1}=0, x_{2}=-2, x_{3}=3; x_{1}=0, x_{2}=-2 не подходят по ОДЗ.

Ответ: 3

Решение №15738: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Имеем \( 2^{\frac{1}{\sqrt{x}-1}}*2^{-\frac{1}{\sqrt{x}+1}}=2^{\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}}, 2^{\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}}= 2^{\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}} \) Тогда \( \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}, x-\sqrt{x}-2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{x} \), найдем \( \sqrt{x}=-1,\varnothing \), или \( \sqrt{ x}= 2 \), откуда имеем \( x=4 \)

Ответ: 4

Решение №15739: В правой части - сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( S \), где \( b_{1}=6.5; q=\frac{3.25}{6.5}=0.5 \Rightarrow S=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{6.5}{1-0.5}=13 \) Перепишем уравнение в виде \( \frac{2^{x}}{2}+\frac{2^{x}}{16}\frac{2^{x}}{4}=13 \Leftrightarrow \frac{13}{16}*2^{x}=13 , 2^{x}=16 \), откуда \( x=4 \)

Ответ: 4

Решение №15740: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & & & \\ x\neq \frac{1}{16} & & & & \\ x\neq \frac{1}{16} & & & & \\ x\neq 1 & & & & \end{matrix}\right. Переходим к основанию 2. Имеем \( \frac{\frac{\log _{2}2}{\log _{2}4\sqrt{x}}}{\frac{\log _{2}2}{\log _{2}2x}}+\frac{\log _{2}2}{\log _{2}2x}*\frac{\log _{2}2x}{\log _{2}\frac{1}{2}}=0 \Leftrightarrow \frac{1+\log _{2}x}{2+\frac{1}{2}\log _{2}2}-1=0 \), откуда \( \log _{2}x=2 , x=4 \)

Ответ: 4

Решение №15741: \( 2^{x} + 2^{-x}=\sqrt{\left ( 2^{x} + 2^{-x} \right )^{2}}=\sqrt{4^{x} + 4^{-x}+2}= \sqrt{ 23 +2}= \sqrt{ 25} = 5 \)

Ответ: 5

Решение №15742: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x+3> 0& & & \\ x^{2}-9> 0, 3< x \leq 7 & & & \\ 7-x \geq 0 & & & \end{matrix} \right \) Из условия имеем \( \left (2^{ -2} \right )^{\log _{2}\sqrt{x+3}-0.5\log _{2}\left ( x^{2}-9 \right )}= \sqrt{ 2 \left ( 7 - x \right )}\Rightarrow 2^{\log _{2}\left ( \sqrt{x+3} \right )^{-2}}*2^{\log _{2}\left ( x^{2}-9 \right )}=\sqrt{2\left ( 7-x \right )},\left ( \sqrt{x+3} \right )^{-2}\left ( x^{2}-9 \right )=\sqrt{2\left ( 7-x \right )}, \frac{x^{2}-9}{x+3}, x -3 = \sqrt{ 2 \left ( 7 -x \right )} \) Следовательно, \( x^{2}- 4x -5=0 \) при \( x> 3.\Rightarrow x_{1}=5, x_{2}=-1; x_{2} = -1 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 5

Решение №15743: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия \( 4*4^{2\log _{5}x}-15*4^{\log _{5}x}-4=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 4^{\log _{5}x} \), найдем \( 4^{\log _{5}x}=-\frac{1}{4}, \varnothing \); или \( 4^{\log _{5}x}=4 \), откуда \( \log _{5}x=1, x=5 \)

Ответ: 5

Решение №15744: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-3> 0 & & \\ x+3> 0 & & \end{matrix}\right.x> 3 \) Имеем \( \lg \sqrt{x-3}+\lg \sqrt{x+3}=\lg 100-\lg 25, \lg \sqrt{x^{2}-9}=\lg 4, \sqrt{x^{2}-9}=4 \), откуда \( x^{2}=25, x_{1}=-5, x_{2}=5, x_{1}=-5 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 5

Решение №15745: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x\neq 0 & \\ 6x-5> 0 & \end{matrix}\right. \frac{5}{6}< x\neq 1 \) Имеем \( \lg x^{2}=\lg \left ( 6x-5 \right ) \), откуда \( x^{2}=6x-5 , x^{2}-6x+5=0 \), отсюда \( x_{1}=5 , x_{2}=1 ; x_{2}=1 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 5

Решение №15746: ОДЗ: \( x> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 2^{2\log _{5}x}-2*2^{\log _{5}x}+\frac{2^{\log _{5}x}}{2}-1=0\Leftrightarrow 2*2^{2\log _{5}x}-3*2^{\log _{5}x}-2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\log _{5}x} \), найдем \( 2^{\log _{5}x}=-\frac{1}{2} \) (не подходит) или \( 2^{\log _{5}x}=2 \), откуда \( \log _{5}x=1, x=5 \)

Ответ: 5

Решение №15747: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x+20> 0, & & \\ 0< x\neq 1 & & \end{matrix}\right. 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 10. Имеем \( \left ( \lg \left ( x+20 \right )-\lg x \right \)left ( -\frac{1}{\lg x} \right )=-1 \Leftrightarrow \lg \left ( x+20 \right )-\lg x=\lg x\Leftrightarrow \lg \left ( x+20 \right )=2\lg x \Leftrightarrow \lg \left ( x+20 \right )=\lg x^{2} \) Тогда \( x+20=x^{2}, x^{2}-x-20=0 \), откуда \( x_{1}=-4, x_{2}=5; x_{1}=-4 не подходит по ОДЗ.

Ответ: 5

Решение №15748: ОДЗ: \( \log _{5}x\geq 0 \), или \( x\geq 1 \) Перепишем уравнение в виде \( \sqrt[6]{\log _{5}x}^{3}+\sqrt[6]{\log _{5}x}^{2}-2=0 \) Пусть \( \sqrt[6]{\log _{5}x}=y \) Относительно \( y \), уравнение принимает вид \( y^{3}+y^{2}-2=0 \Leftrightarrow \left ( y^{3}-1 \right )+\left ( y^{2}-1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+y+1 \right )+\left ( y-1 \right \)left ( y+1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+2y+2 \right )=0 \), откуда \( y-1=0 \), так как \( y^{2}+2y+2> 0 \) Получили \( \sqrt[6]{\log _{5}x}=1 , \log _{5}x=1 , x=5 \)

Ответ: 5

Решение №15749: ОДЗ: \( 2x-7\geq 0, x \geq \frac{7}{2} \) Из условия \( \log _{5}\left ( \sqrt{2x-7}+1 \right )=\frac{1}{2}\log _{5}\left ( \sqrt{2x-7}+7 \right ) , \log _{5}\left ( \sqrt{2x-7}+1 \right )=\log _{5} \sqrt{ \sqrt{2x-7} +7} \), откуда \( \sqrt{2x-7}+1=\sqrt{\sqrt{2x-7}+7}\Rightarrow \left ( \sqrt{2x-7} \right )^{2}+2\sqrt{2x-7}+1=\sqrt{2x-7}+7, \left ( \sqrt{2x-7} \right )^{2}+\sqrt{2x-7}-6=0 \) Решив это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{2x-7} \), Найдем \( \sqrt{2x-7}=-3, \varnothing \); или \( \sqrt{2x-7}=2 \), откуда \( x= 5.5 \)

Ответ: 5.5

Решение №15750: ОДЗ: \( \frac{x-5}{x+5}> 0 \) или \( x\epsilon \left ( - \infty;-5 \right \)cup \left ( 5;\infty \right ) \) Имеем \( \log _{2}\frac{\left ( x-5 \right \)left ( x^{2}-25 \right )}{x+5}=0, \left ( x -5 \right )^{ 2}= 1 \), откуда \( x-5=-1 x-5=1 \) Тогда \( x_{1}=4, x_{2}=6; x_{1}=4 \)

Ответ: 6

Решение №15751: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x< 12, & & \\ x\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию 3. Тогда получаем \( \frac{1+\frac{2\log _{3}2}{\log _{3}9}}{\frac{\log _{3}x}{\log _{3}9}}-1=\frac{2}{\log _{3}x}*\frac{\log _{3}\left ( 12-x \right )}{\log _{3}9} \Leftrightarrow \frac{2+2\log _{3}2}{\log _{3}x}-1=\frac{\log _{3}\left ( 12-x \right )}{\log _{3}x} \Leftrightarrow \frac{2+2\log _{3}2-\log _{3}x}{\log _{3}x}=\frac{\log _{3}\left ( 12-x \right )}{\log _{3}x} \Leftrightarrow 2+2\log _{3}2-\log _{3}x=\log _{3}\left ( 12-x \right ) \Leftrightarrow 2+2\log _{3}2=\log _{3}x+\log _{3}\left ( 12-x \right ) \Leftrightarrow \log _{3}9+\log _{3}4=\log _{3}x+\log _{3}\left ( 12-x \right ), \log _{3}36=\log _{3}\left ( 12-x \right ) \), откуда \( 36=x\left ( 12-x \right ) \), или \( x^{2}-12x+36=0, \left ( x-6 \right )^{2}=0, x=6 \)

Ответ: 6

Решение №15752: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x^{2}-21> 0 & & \\ x> 0 & & \end{matrix}\right.x> \sqrt{21} \) . Из условия имеем \( \lg \left ( x^{2}-21 \right )-\lg 100=\lg x-\lg 25, \lg \frac{x^{2}-21}{100}= \frac{2}{25}, \frac{ x^{2} -21}{ 100}= \frac{ x}{ 25} \) . Получаем квадратное уравнение \( x^{2}-4x -21 =0 \) , корнями которого будут \( x_{1}=7, x_{2}=-3; x_{2}= -3 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 7

Решение №15753: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x^{2}-21> 0 & & \\ x> 0 & & \end{matrix}\right. x> \sqrt{21} \) Записываем \( 5^{\log _{2}\left ( x^{2}-21 \right )}*0.04*\frac{1}{25^{-0.5\log _{2}x}}=1, 5^{\log _{2}\left ( x^{2}-21 \right )}=5^{2+\log _{2}x}, \log _{2}\left ( x^{2}-21 \right )=2+\log _{2}x, \log _{2}\left ( x^{2}-21 \right )=\log _{2}4x \), откуда \( x^{2}-21=4x, x^{2}-4x-21=0, x_{1}=7, x_{2}=-3; x_{2}=-3 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 7

Решение №15754: \( \left ( N^{\frac{1}{\log _{2}N}}*N^{\frac{1} {\log _{4}N}}N^{\frac{1}{\log _{8}N}}... N^{\frac{1}{\log _{512}N}} \right )^{\frac{1} {15}}=\left (N\log _{N}2*N\log _{N}4*N\log _{N}8... N\log _{N}512 \right )^{\frac{1}{15}}=\left ( 2*4*8*...512 \right )^{\frac{1}{15}}=\left ( 2^{1}*2 ^{2}*2^{3}... 2^{9}\right )^{\frac{1}{15}}=\left ( 2 ^{1+2+3+...+9} \right )^{\frac{1}{15}} \) Выражение \( S_{n} =1 +2 +3 +...+9 \) является суммой членов арифметической прогресии, где \( a_{1}=1, d=1, a_{n}=9, n=9 \) Тогда \( S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}n=\frac{1+9}{2}*9=45 \) Отсюда \( \left ( 2^{45} \right )^{\frac{1}{15}}=2^{3}=8 \)

Ответ: 8

Решение №15755: ОДЗ: \( x-5\geq 0, x\geq 5. 3^{2\sqrt{x-5}}-6*3^{\sqrt{x-5}}-27=0 \) Решаем уравнение как квадратное относительно \( 3^{\sqrt{x-5}} \) Имеем \( 3^{\sqrt{x-5}}=-3 \) (не подходит) \( 3^{\sqrt{x-5}}=9 \), откуда \( \sqrt{x-5}=2 , x-5=4 \) Тогда \( x=9 \)

Ответ: 9

Решение №15756: ОДЗ: \( x\geq 0 \) Из условия \( \frac{1}{3}\lg \left ( 271+3^{2\sqrt{x}} \right )+1=2, \lg \left ( 271+3^{2\sqrt{x}} \right )=3 \) Тогда \( 271+3^{2\sqrt{x}}=1000, 3^{2\sqrt{x}}=3^{6} \), откуда \( \sqrt{x}=3, x=9 \)

Ответ: 9

Решение №15757: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия \( 4^{\log _{3}x}*5^{\log _{3}x}=400, 20^{\log _{3}x}=20^{2} \), откуда \( \log _{3}x=2, x=9 \)

Ответ: 9

Решение №15758: ОДЗ: \( x\geq 0 \) Из условия имеем \( 5^{\frac{x}{\sqrt{x}+2}}*5^{\frac{4}{\sqrt{x}+2}}=5^{3x-12}*5^{-2x+4} \Leftrightarrow 5^{\frac{x}{\sqrt{x}+2}-\frac{4}{\sqrt{x}+2}}=5^{3x-12-2x+4} \Leftrightarrow \frac{x-4}{\sqrt{x}+2}=x-8 \Leftrightarrow x\sqrt{x}+x-8\sqrt{x}-12=0 \) Пусть \( \sqrt{x}=y\geq 0 \) Относительно \( у \) уравнение принимает вид \( y^{3}+y^{2}-8y-12=0, \left ( y-3 \right \)left ( y+2 \right )^{2}=0 \), откуда \( y_{1}=3, y_{2,3}=-2, y_{2,3}=-2 \) не подходит. Тогда \( \sqrt{x}=3, x=9\)

Ответ: 9

Решение №15759: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix}lgx> 0 & & \\ lgx^{3}-2> 0 & & \end{matrix}\right. x> \sqrt[3]{100} \) Из условия имеем \( \lg \left ( \lg x*\left ( \lg x^{3}-2 \right ) \right )=0, \lg x\left ( 3\lg x-2 \right )=1, 3\lg ^{2}x-2\lg x-1=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \lg x \), найдем \( \left (\lg x \right )_{1}=-\frac{1}{3} \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{\sqrt[3]{10}} \), или \( \left ( \lg x \right )_{2}=1 \), откуда \( x_{2}=10; x_{1}=\frac{1}{\sqrt[3]{10}} \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 10

Решение №15760: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix}6+x\geq 0, & & & \\ x> 0, & & & \\ x\neq 1, & & & \end{matrix}\right.0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 10. Имеем \( \lg \left ( \sqrt{6+x}+6 \right )=2\lg \sqrt{x}, \lg \left ( \sqrt{6+x}+6 \right )=\lg x \) Тогда \( \sqrt{6+x}+6=x, \sqrt{6+x}=x-6\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-13x+30=0 & & \\ x\geq 6, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x=10 \)

Ответ: 10

Решение №15761: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x+6> 0 & & \\ x-2> 0 & & \end{matrix}\right.x> 2 \) Имеем \( \lg \frac{8}{\sqrt{x+6}}=\lg \frac{16}{x-2}, \frac{8}{\sqrt{x+6}}=\frac{16}{x-2}, 2\sqrt{x+6}=x-2, x^{2}-8x-20=0 \), откуда \( x_{1}=10, x_{2}=-2; x_{2}=-2 не подходит по ОДЗ.

Ответ: 10

Решение №15762: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2x-19> 0 & & \\ 3x-20> 0 & & \end{matrix}\right.x> \frac{19}{2}\) Из условия \( \lg \left ( 2x-19 \right )-\lg \left ( 3x-20 \right )=-\lg x, \lg \left ( 2x-19 \right )+\lg x=\lg \left ( 3x-20 \right ), x\left ( 2x-19 \right )=3x+20, x^{2}-11x+10=0 \) Отсюда \( x_{1}=10, x_{2}=1; x_{2}=1\) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 10

Решение №15763: ОДЗ: \( x\geq 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 3^{\frac{3}{5}\left ( \frac{x}{4}-\sqrt{\frac{x}{3}} \right \)left ( \frac{x}{4}+\sqrt{\frac{x}{3}} \right )}=3^{\frac{7}{4}} \) Тогда \( \frac{3}{5}\left ( \frac{x}{4}-\sqrt{\frac{x}{3}} \right \)left ( \frac{x}{4}+\sqrt{\frac{x}{3}} \right )=\frac{7}{4}, 3x^{2}-16x-140=0 \), откуда \( x_{1}=10, x_{2}=-\frac{14}{3}; x_{2}=-\frac{14}{3} \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 10

Решение №15764: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-9> 0 & & \\ 2x-1> 0, x> 9 & & \end{matrix}\right \) Из условия \( \log _{5}\frac{\sqrt{\left ( x-9 \right \)left ( 2x-1 \right )}}{10}=0\Leftrightarrow \frac{\sqrt{\left ( x-9 \right \)left ( 2x-1 \right )}}{10}=1\Leftrightarrow \sqrt{\left ( x-9 \right \)left ( 2x-1 \right )}=10 \Rightarrow \left ( x-9 \right \)left ( 2x-1 \right ) =100 \), откуда \( 2x^{2}-19x-91=0, x_{1}=13, x_{2}=-\frac{7}{2}; x_{2}=-\frac{7}{2} \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 13

Решение №15765: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} \log _{2}x> 0, & & \\ \log _{4}x> 0, & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x> 1 \) Перейдем к основанию 2. Имеем \( \frac{1}{2}\log _{2}\log _{2}x+\log _{2}\left ( \frac{1}{2}\log _{2}x \right )=2 \Leftrightarrow \log _{2}\log _{2}x+2\log _{2}\left ( \frac{1}{2}\log _{2}x \right )=4 \Leftrightarrow \log _{2}\log _{2}x+\log _{2}\left ( \frac{1}{4}\log _{2}^{2}x \right )=4 \Leftrightarrow \log _{2}\left ( \log _{2}x*\frac{1}{4}\log _{2}^{2}x \right )=4 \Leftrightarrow \frac{1}{4}\log _{2}^{3}x=16, \log _{2}^{3}x=64 \) Тогда \( \log _{2}x=4, x=2^{4}=16 \)

Ответ: 16

Решение №15766: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2^{\sqrt{x-1}-1}-1> 0 & & \\ x-1\geq 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x> 2 \) Перепишем уравнение в виде \( \lg 8+\lg \left ( 2^{\sqrt{x-1}-1}-1 \right )=\lg \left ( 0.4\sqrt{2}^{\sqrt{x-1}}+4 \right )+\lg 10 \Leftrightarrow \lg \left ( 8*\left ( 2^{\sqrt{x-1}-1}-1 \right ) \right )=\lg \left ( 4\sqrt{2}^{\sqrt{x-1}}+40 \right ) \Leftrightarrow 8\left ( 2^{\sqrt{x-1}-1}-1 \right )=4\left ( \sqrt{2}^{\sqrt{x-1}}+10 \right ) \Leftrightarrow \left ( 2^{\frac{\sqrt{x-1}}{2}} \right )^{2}-2^{\frac{\sqrt{x-1}}{2}}-12=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\frac{\sqrt{x-1}}{2}} \), получим \( 2^{\frac{\sqrt{x-1}}{2}}=-3 \), (нет решений), или \( 2^{\frac{\sqrt{x-1}}{2}}=2^{2} \), откуда \( \frac{\sqrt{x-1}}{2}=2 , \sqrt{x-1}=4, x-1=16, x=17 \)

Ответ: 17

Решение №15767: Перепишем уравнение в виде \( \left ( \sqrt[10]{3} \right )^{2x}+\frac{\left ( \sqrt[10]{3} \right )^{x}}{3}-84=0, 3*\left ( \sqrt[10]{3} \right )^{2x}+\left ( \sqrt[10]{3} \right )^{x}-252=0 \) Решая уравнение как квадратное относительно \( \left ( \sqrt[10]{3} \right )^{x} \), получим \( \left ( \sqrt[10]{3} \right )^{x}=-\frac{23}{3}, \varnothing \); или \( \left ( \sqrt[10]{3} \right )^{x}=9, 3\frac{x}{10}=3^{2} \), откуда \( \frac{x}{10}=2, x=20 \)

Ответ: 20

Решение №15768: ОДЗ: \( x\geq 0 \) Из условия \( 2^{\frac{1}{2}}*2^{\frac{5}{4\sqrt{x}+10}}=2^{\frac{2}{\sqrt{x}+1}}, 2^{\frac{1}{2}-\frac{5}{4\sqrt{x}+10}}= 2^{ \frac{ 2}{ \sqrt{ x} +1}} \), откуда \( \frac{1}{2}-\frac{5}{4\sqrt{x}+10}= \frac{2}{\sqrt{x}+1} \Rightarrow \left ( \sqrt{x} \right )^{2}-3\sqrt{x}-10= 0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{x} \), найдем \( \sqrt{x}=-2, \varnothing \); или \( \sqrt{ x} = 5 \), откуда \( x=25 \)

Ответ: 25

Решение №15769: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\log _{0.2}x+1\geq 0, & & & \\ \log _{0.2}+3\geq 0 & & & \\ x> 0 & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 0< x\leq 25 \) Перейдем к основанию 0,2. Имеем \( \sqrt{\frac{1}{2}\log _{0.2}x+1}+\sqrt{\log _{0.2}x+3}=1\Leftrightarrow \sqrt{\log _{0.2}x+2}+\sqrt{\log _{0.2}x+6}=\sqrt{2} \) Возведя обе части уравнения в квадрат, получим \( \log _{0.2}x+2+2\sqrt{\left ( \log _{0.2}x+2 \right \)left ( 2\log _{0.2}x+6 \right )}+2\log _{0.2}x+6=2\Leftrightarrow 2\sqrt{\left ( \log _{0.2}x+2 \right \)left ( 2\log _{0.2}x+6 \right )}=-3\log _{0.2}x-6\Rightarrow 4\left ( \log _{0.2}x+2 \right \)left ( 2\log _{0.2}x+6 \right )=9\left ( \log _{0.2}x+2 \right )^{2} , -3\log _{0.2}x-6\geq 0\Leftrightarrow \log _{0.2}x+2\leq 0 \) С учетом ОДЗ имеем \( \log _{0.2}x+2=0 \), откуда \( x=25 \)

Ответ: 25

Решение №15770: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Из условия \( 3^{\frac{3\left ( \sqrt{x}+1 \right )}{2\sqrt{x}}*\frac{2}{\sqrt{x}-1}}=3^{\frac{9}{10}} \Leftrightarrow \frac{3\left ( \sqrt{x}+1 \right )}{2\sqrt{x}}*\frac{2}{\sqrt{x}-1}=\frac{9}{10} \Leftrightarrow 3x-13\sqrt{x}-10=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{x} \), получим \( \left ( \sqrt{x} \right )_{1}=-\frac{2}{3} \) (не подходит), или \( \left ( \sqrt{x} \right )_{2}=5 \) Тогда \( x=25 \)

Ответ: 25

Решение №15771: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-5> 0 & & & \\ x+7> 0 & & & \\ \sqrt{x+7}\neq 2 & & & \end{matrix}\right. x> 5 \) Из условия \( \lg 8-\lg \left ( x-5 \right )=\lg 2-\lg \sqrt{x+7}, \lg \frac{8}{x-5}=\lg \frac{2}{\sqrt{x+7}}, \frac{8}{x-5}=\frac{2}{\sqrt{x+7}}, 4\sqrt{x+7}=x-5, 16x+112=x^{2}-10x+25, x> 5 \) Имеем \( x^{2} - 26x - 87 = 0 \), откуда \( x_{1}=29, x_{2}=-3; x_{2}=- 3 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 29

Решение №15772: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 3x-11> 0 & & \\ x-27> 0 & & \end{matrix}\right. x> 27 \) Имеем \( \log _{5}\left(3x-11 \right )+\log _{5}\left ( x-27 \right )=\log _{5}125+\log _{5}8 , \log _{5}\left(3x-11 \right ) *\left ( x-27 \right ) =\log _{5}\left ( 125*8 \right ) , \left( 3x -11 \right ) \left ( x -27 \right ) = 125 *8, 3x^{ 2} -92x -703 =0 \), откуда находим \( x_{1}=37 , x_{ 2}= - \frac{ 19}{ 3} ; x_{2}= - \frac{ 19}{ 3} \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 37

Решение №15773: ОДЗ: \left\{\begin{matrix} x^{2}-55x+90> 0 & & \\ x-36> 0 & & \end{matrix}\right \) Из условия \( 0.5\left ( \lg \left ( x^{2}-55x+90 \right )-\lg \left ( x-36 \right ) \right )=0.5\lg 2, \lg \frac{x^{2}-55x+90}{x-36}=\lg 2, \frac{x^{2}-55x+90}{x -36}=2 \) Имеем \( x^{2}-57x+162=0 \) при \( x\neq 36 \) Отсюда \( x_{1}=54 , x_{ 2}=3 ; x_{ 2}= 3 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 54

Решение №15774: ОДЗ: \( x> 0 \) Имеем \( \log _{2}x+\frac{1}{2}\log _{2}x+\frac{1}{3}\log _{2}x=11, \log _{2}x=6 \), откуда \( x = 2 ^{ 6 } = 64 \)

Ответ: 64

Решение №15775: ОДЗ: \( x\geq 0 . 3^{\frac{1}{2}}*3^{\frac{x}{1+\sqrt{x}}}*3^{-\frac{2+\sqrt{x}+x}{2\left ( 1+\sqrt{x} \right )}}=3^{4}, 3^{\frac{1}{2}+\frac{x}{1+\sqrt{x}}-\frac{2+\sqrt{x}+x}{2\left ( 1+\sqrt{x} \right )}}= 3^{4} \), откуда \( \frac{1}{2}+\frac{x}{1+\sqrt{x}}-\frac{2+\sqrt{x}+x}{2 \left ( 1+ \sqrt{x} \right )}=4, \Rightarrow x-8\sqrt{x} - 9 = 0 \) Решив это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{x} \), найдем \( \sqrt{x}=-1,\varnothing \); или \( \sqrt{x}=9 \), откуда \( x=81 \)

Ответ: 81

Решение №15776: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия \( 7^{\lg x}-5*5^{lgx}=\frac{3}{5}*5^{\lg x}-\frac{13}{7}*7^{\lg x} , 35*7^{\lg x}+65*7^{\lg x}=21*5^{\lg x}+175*5^{\lg x} , 100*7^{\lg x}=196*5^{\lg x} , \left ( \frac{7}{5} \right )^{\lg x}=\left ( \frac{7}{5} \right )^{2} \), откуда \( \lg x=2 \) и \( x=100 \)

Ответ: 100

Решение №15777: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перепишем уравнение в виде \( 5^{\lg x}=50-5^{\lg x}, 2*5^{\lg x}=50, 5^{\lg x}=25 \), откуда \( \lg x=2, x=10^{2}=100\)

Ответ: 100

Решение №15778: ОДЗ: \( \lg \left ( 390635-5^{\sqrt[3]{2x}} \right \)geq 0 \) Перепишем уравнение в виде \( \lg \sqrt{10}-\lg 100+2.5=\sqrt[6]{\lg \left ( 390635-5^{\sqrt[3]{2x}} \right )} \Leftrightarrow 0.5-2+2.5= \sqrt[6]{\lg \left ( 390635-5^{\sqrt[3]{2x}} \right )}, 1=\sqrt[6]{\lg \left ( 390635-5^{\sqrt[3]{2x}} \right )}\Leftrightarrow 10=\left ( 390635-5^{\sqrt[3]{2x}} \right \)Leftrightarrow 5^{\sqrt[3]{2x}}=390625 \Leftrightarrow 5^{\sqrt[3]{2x}}=5^{8} \Leftrightarrow \sqrt[3]{2x}=8, x=256 \)

Ответ: 256

Решение №15779: \( \lg \beta =\frac{1}{1-\lg \alpha }; \lg \gamma =\frac{1}{1-\lg \beta }=\frac{1}{1-\frac{1}{1-\lg \alpha }}=\frac{1-\lg \alpha }{-\lg \alpha }=-\frac{1}{\lg \alpha }+1; \frac{1}{\lg \alpha }=1-\lg \gamma ;\lg \alpha =\frac{1}{1-\lg \gamma }; \alpha =10^{1/\left ( 1-\lg \gamma \right )} \)

Ответ: \( \alpha =10^{1/\left ( 1-\lg \gamma \right )} )\

Решение №15780: \( \log _{abcd}x=\frac{\log _{x}x}{\log _{x}abcd}=\frac{1}{\log _{x}a+\log _{x}b+\log _{x}c+\log _{x}d}=\frac{1}{\frac{1}{\log _{a}x}+\frac{1}{\log _{b}x}+\frac{1}{\log _{c}x}+\frac{1}{\log _{d}x}}=\frac{1}{\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma }+\frac{1}{\delta }}=\frac{\alpha \beta \gamma \delta }{\beta \gamma \delta +\alpha \gamma \delta +\alpha \beta \delta +\alpha \beta \delta } \)

Ответ: \( \frac{\alpha \beta \gamma \delta }{\beta \gamma \delta +\alpha \gamma \delta +\alpha \beta \delta +\alpha \beta \delta } )\

Решение №15781: Преобразуем знаменатель второго члена уравнения: \( 4^{\sin ^{2}\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}=4^{\left ( \sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4} \right )^{2}}=4^{\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right \)left ( \sin ^{2}x-2\sin x\cos x+\cos ^{2}x \right )}=4^{\frac{1}{2}\left ( 1-\sin 2x \right )}=4^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left ( \sin 2x \right )}=\frac{2}{2^{\sin 2x}} \), откуда \( \frac{6}{4^{\sin ^{2}\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}}=3*2^{\sin 2x} \) Получаем уравнение \( \left ( 2^{\sin 2x} \right )^{2}+3*2^{\sin 2x}-4=0 \Rightarrow 2^{\sin 2x}=-4 \), (нет решений) или 2^{\sin 2x}=1 \), откуда \( \sin 2x=0 , x=\frac{\pi n}{2} \), где \( n\epsilon Z \)

Ответ: \( \frac{\pi n}{2}; n\epsilon Z )\