№7509

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Пусть\( 0< x_{1}< a, \forall n\in N x_{n+1}=x_{n}\left ( a-x_{n} \right )\). Докажите, что\( \lim_{n \to \propto} x_{n} a-1 1< a\leqslant 2 \)

Ответ

NaN

Решение № 7509:

Очевидно, что \(\forall n\in N x_{n+1}\geqslant y_{n+1}\). Докажем, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывающая, а последовательность \(\left \{ y_{n} \right \}\) возрастающая, начиная с некоторого \(k\forall n\in N x_{n+2}-x_{n+1}=\frac{y_{n+1}-x_{n+1}}{2}\leqslant 0. \forall n\in N y_{n+2}=\sqrt{x_{n+1}y_{n+1}}=\sqrt{\frac{x_{n}y_{n}}{2}*y_{n+1}}\geqslant y_{n+1}, \frac{x_{n}y_{n}}{2}\geqslant \sqrt{x_{n}y_{n}}=y_{n+1}\). Тогда последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастает и ограничена сверху, например\( y_{1}=b\), а последовательность \(\left \{ y_{n} \right \}\) убывает и ограничена снизу, например\(y_{1}=0\), так что обе имеют пределы. Осталось показать, что эти пределы равны. Перейдём в равенстве \(x_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2}\) к пределу: \(A=\frac{A+B}{2}\Leftrightarrow A=B\), что и требовалось.