№7507

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Пусть \(0< x_{1}< 1, \forall n\in N x_{n+1}=x_{n}\left ( 2-x_{n} \right )\).Докажите, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} сходится и \lim_{n \to \propto} x_{n}=1 \)

Ответ

NaN

Решение № 7507:

Рассмотрим \(f\left ( x \right )=2x-x^{2}\). Можно показать по индукции, что если \(0< x_{1}< 1\), то \(\forall n x_{n}\in \left ( 0; 1 \right )\). Тогда при \(х ∈ (0; 1) E (f) = (0; 1)\). Более того, функция f возрастает на \(x\in \left ( 0; 1 \right )\). Значит, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастает и ограниченна. И следовательно, существует \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=1\), который находится однозначно из уравнения \(a=a\left ( 2-a \right ) \)