№7500

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Выясните, сходится ли последовательность\( \left \{ x_{n} \right \} \)и найдите предел сходящейся последовательности \(x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}= \left ( 1-x_{n} \right )^{2}\)

Ответ

NaN

Решение № 7500:

\( \forall n\in N x_{n}\in \left ( 0; 1 \right )\), но на \(\left ( 0;1 \right ) \) функция \(f\left ( x \right )=\left ( 1-x \right )^{2}\) убывает. Таким образом, обе последовательности монотонные и ограниченные, а значит, имеют предел. Осталось показать, что эти пределы равны. Для этого в равенстве \(x_{n+1}=\left ( 1-\left ( 1-x_{n-1} \right )^{2} \right )^{2}\) перейдем к пределу, обозначив его за A. Получим уравнение \(A=\left ( 1-\left ( A-1 \right )^{2} \right )^{2}\). Заметим, что, кроме 0 и 2, это уравнение имеет корни \(\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\), из которых лишь \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) может служить пределом обеих последовательностей.