№7493

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), воспользовавшись свойствами пределов, связанными с неравенствами и арифметическими действиями с пределами.\( x_{n}=\frac{4^{n}+n^{2}*2^{n}-1}{n^{4}+\left ( n! \right )^{2}}\)

Ответ

0

Решение № 7493:

Заметим, что \(\forall n\in N 0< \frac{4^{n}+n^{2}*2^{n}-1}{n^{4}+\left ( n! \right )^{2}}< \frac{4^{k}+n^{2}*2^{n}-1}{n^{4}}=\left ( \frac{2^{n}}{n^{2}} \right )^{2}+\frac{2^{n}}{n^{2}}-\frac{1}{n^{4}}\), а так как \(\lim_{n \to \propto} \left ( \left ( \frac{2^{n}}{n^{2}} \right )^{2}+\frac{2^{n}}{n^{2}}-\frac{1}{n^{4}} \right )=0\), то и \(\lim_{n \to \propto}\frac{4^{n}+n^{2}*2^{n}-1}{n^{4}+\left ( n! \right )^{2}}=0 \)