№7481

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 4

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Докажите, что если \(\lim_{n \to \propto} a_{n}=a, то \lim_{n \to \propto} \sin a_{n}=\sin a и \lim_{n \to \propto} \cos a_{n}=\cos a. \)

Ответ

NaN

Решение № 7481:

Так как \(\lim_{n \to \propto} a_{n}=a\), то последовательность \(\alpha _{n}=a_{n}-a\) бесконечно малая при \(n\rightarrow \propto\). Значит, \(\forall \varepsilon > 0 \exists k\in N: \forall n\geqslant k \left | a-a_{n} \right |< \varepsilon . \forall \varepsilon > 0\exists k_{1}\in N: \forall n\geqslant k_{1} \left | \sin a_{n}-\sin a \right |=\left | 2\sin \frac{a_{n}-a}{2} \cos \frac{a_{n}+a}{2}\right |< \varepsilon \). Поскольку выполнены неравенства \(\left | \sin \alpha _{n} \right |\leqslant \left | \alpha _{n} \right |и \left | \cos \alpha _{n} \right |\leqslant 1, то получаем \left | 2\sin \frac{a_{n}-a}{2}\cos \frac{a_{n}+a}{2} \right |\leqslant 2\left | \frac{a_{n}-a}{2} \right |< \varepsilon \). Поэтому, как только \(\left | a_{n}-a \right |< \varepsilon\) , так сразу \(\left | \sin a_{n}-\sin a \right |< \varepsilon \). Доказательство того, что \(\lim_{n \to \propto}\cos a_{n}=\cos a\), аналогично приведенному.