№45779

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Условие

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противолежащих граней, пересекаются в одной точке и эта точка делит каждый из отрезков в отношении 3:1, считая от вершины.

Ответ

NaN

Решение № 45762:

Указание. Пусть \(G_{1}\) - точка пересечения медиан грани \(ABC\) тетраэдра \(ABCD\), тогда для произвольной точки \(O\) имеем: \(\overrightarrow{OG_{1}}=\frac{1}{3}\left ( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC}\right )\). Выразите через \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\) и \(\overrightarrow{OD}\) вектор \(\overrightarrow{OM_{1}}\), где \(M_{1}\) делит \(\left [ DG_{1}\right ]\) в отношении 3:1, считая от \(D\). Убедитесь, что такой же результат получим и для точек \(M_{2}\), \(M_{3}\), \(M_{4}\), делящих в отношении 3:1 остальные отрезки, указанные в условии.