№45770

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Условие

1) Три ребра прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую точку, "видны" из точки пересечения его диагоналей под углами \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\). Докажите, что \(cos \alpha + cos \beta + cos\gamma=1\). 2) Из точки пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда диагонали граней, выходящие из одной вершины, "видны" под углами \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\). Докажите, что \(cos \alpha + cos \beta + cos\gamma=-1\).

Ответ

NaN

Решение № 45753:

1) Указание. Пусть \(O\) - точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Обозначим: \(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{OB}=\vec{b}\), \(\overrightarrow{OB}=\vec{c}\), \(\left|\overrightarrow{OA} \right|=\left|\overrightarrow{OB} \right| =\left|\overrightarrow{OC} \right|=l\). Тогда \(cos\alpha +cos\beta +cos\gamma =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{l^{2}}+\frac{\vec{b}\cdot \vec{c}}{l^{2}}+\frac{\vec{b}\cdot \overrightarrow{OB_{1}}}{l^{2}}=\frac{1}{l^{2}}\vec{b}\cdot \left ( \vec{a}+\vec{c} +\overrightarrow{OB_{1}}\right )\). Остается доказать, что \(\vec{a}+\vec{c}+\overrightarrow{OB_{1}}=\vec{b}\)