№45691

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, площадь сферы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Условие

Пользуясь координатным методом, докажите, что непустое пересечение двух различных сфер является окружностью, плоскость которой перпендикулярна линии центров, или точкой, принадлежащей линии центров.

Ответ

NaN

Решение № 45674:

Указание. Выберите прямоугольную систему координат так, чтобы начало координат совпало с центром одной из сфер, а ось ординат проходила через центр другой сферы. В таком случае уравнения данных сфер имеют вид: \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=R_{1}^{2}\) (1), \(x^{2}+\left ( y-d \right )^{2}+z^{2}=R_{2}^{2}\) (2). Здесь \(d\) - расстояние между центрами сфер. Система, составленная из уравнений (1) и (2), задает пересечение данных сфер. Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получим: \(2dy=R_{1}^{2}-R_{2}^{2}+d^{2}\) (3). Уравнения (3) и (1) образзуют систему, равносильную системе, составленной из уравнений (1) и (2). Поэтому полученная и данная системы уравнений задают одно и то же пересечение. По условию задачи это пересечение не пусто. Согласно теореме 36 пересечение плоскости (3) и сферы (1) есть окружность или точка. Плоскость (3) перпендикулярна оси ординат, т.е. она перпендикулярна прямой, проходящей через центры данных сфер.