№41653

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Через точку \(О\) внутри треугольника \(АВС\) проведены три прямые, параллельные его сторонам. Найдите площадь треугольника \(АВС\), если площади отмеченных на рисунке треугольников равны 4, 9 и 16.

Ответ

81

Решение № 41636:

Обозначим отрезки данных прямых, лежащие внутри треугольника \(АВС\), как \(МN, PQ\) и \(ЕК\). Поскольку каждая из этих прямых параллельна своей стороне треугольника \(АВС\), то все отмеченные на рисунке треугольники \(ОЕQ, ОМР\) и \(ОКN\) будут подобны треугольнику \(АВС\), а также между собой. Площади этих треугольников должны относиться как квадраты коэффициентов их подобия. Значит, их соответственные стороны относятся как 2 : 3 : 4. Поэтому длины отрезков \(ЕQ, МО\) и \(ОN\) можно обозначить как \(2а, 3а\) и \(4а\). Поскольку четырёхугольники \(АМОЕ\) и \(ОNCQ\) по определению являются параллелограммами, то \(АЕ = МО = 3а, СQ = ОN = 4а\). Значит, вся сторона \(АС\) равна \(2а + 3а + 4а = 9а\). А теперь давайте сравним площадь всего треугольника \(АВС\) с площадью треугольника \(ЕОQ\). Они подобны с коэффициентом \(k = \frac{AC}{EQ} = \frac{9a}{2a} = \frac{9}{2}\). Площади этих треугольников относятся как квадрат коэффициента их подобия. Следовательно \(\frac{S_{ABC}}{4} = \frac{81}{4}\). Откуда \(S_{ABC} = 81\). Ответ: 81.