№41652

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Треугольник разрезали на параллелограмм и два треугольника, площади которых равны 4 и 9. Найдите площадь параллелограмма.

Ответ

12

Решение № 41635:

Пусть треугольник \(АВС\) разрезали на параллелограмм \(ВЕМК\) и треугольники \(АЕМ\) и \(МКС\). Поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны, то треугольники \(АЕМ\) и \(МКС\) будут подобны треугольнику \(АВС\). Если коэффициент подобия треугольников \(АЕМ\) и \(МКС\) равен \(k\), то по теореме их площади должны относиться как \(k^{2}\) . Значит, должно быть \(k^{2} = \frac{4}{9}\). Откуда следует, что \(k = \frac{2}{3}\). Стороны \(АМ\) и \(СМ\) в этих треугольниках соответственные, поэтому \(АМ : СМ = k = 2 : 3\). Удобно обозначить длины отрезков \(АМ\) и \(СМ\) как \(2а\) и \(3а\). Тогда вся сторона \(АС\) будет иметь длину \(5а\). А теперь давайте сравним площади треугольников \(АЕМ\) и \(АВС\). Коэффициент их подобия равен отношению соответственных сторон \(АМ\) и \(АС\). Значит, он равен \(\frac{2a}{5a}= \frac{2}{5}\). Отношение площадей этих треугольников должно равняться квадрату коэффициента их подобия, то есть должно быть равно \((\frac{2}{5})^{2} = \frac{2}{45}\). Следовательно \(\frac{4}{S_{ABC}} = \frac{4}{25}\). Откуда получаем, что \(S_{ABC} = 25\). Давайте теперь обозначим площадь параллелограмма буквой \(х\) и выразим через неё площадь всего треугольника \(АВС\). Тогда мы получим уравнение: \(4 + 9 + х = 25\). Откуда следует, что \(х = 12\). Ответ: 12.