№41651

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Точки Е и М – середины сторон АВ и АС и треугольника АВС. На его стороне ВС взяли такую точку К, что ВК : СК = 1 : 2. Отрезки ЕК и ВМ пере_x0002_секаются в точке О. Какую часть от площади треугольника АВС составляет четырёхугольник АЕОМ?

Ответ

0.45

Решение № 41634:

Обозначим площадь треугольника \(ВОК\) буквой \(х\) и проведём отрезки \(АО\) и \(СО\). Так как точка \(К\) делит сторону \(ВС\) в отношении 1 : 2, то площадь треугольника \(СОК\) будет равна \(2х\). Поскольку \(ВМ\) – медиана треугольника \(АВС\), то площадь треугольника \(АОВ\) будет равна \(3х\) по свойству «дельтаплана». Медиана \(ОЕ\) делит площадь этого треугольника пополам, поэтому \(S_{BOE} = \frac{3x}{2}\) . Значит, площадь треугольника \(ВЕК\) равна \(х + \frac{3x}{2} = \frac{5x}{2}\). Посмотрим теперь на треугольники \(ВЕК\) и \(АВС\). Поскольку они имеют общий угол, их площади должны относиться как произведения их сторон \9S_{BEK} : S_{ABC} = \frac{a \cdot b}{3a \cdot 2b} = \frac{1}{6}\). Следовательно, \(S_{ABC} = 30х\). Та как \(ВМ\) – медиана треугольника \(АВС\), то площадь треугольника \(АВМ\) равна \(15х\). Тогда площадь искомого четырёхугольника \(АЕОМ\) будет равна \(15x - \frac{3x}{2} = \frac{27x}{2}\). Значит, его площадь относится к площади всего треугольника \(АВС\) как \(\frac{27x}{2} : 30x = \frac{9}{20} = 0,45\). Ответ: 0,45.