№41650

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

В треугольнике АВС провели высоты АК и СЕ. Найдите отношение, в кото_x0002_ром отрезок ЕК делит площадь треугольника, если угол АВС

Ответ

1 : 3

Решение № 41633:

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(АВК\). Его угол при вершине \(А\) равен \(90^{\circ} – 60^{\circ} = 30^{\circ}\). По свойству в таком треугольнике катет, лежащий против данного угла, должен быть в два раза меньше его гипотенузы. Обозначим длину катета \(ВК\) за \(а\). Тогда его гипотенуза \(АВ\) должна иметь длину \(2а\). А теперь рассмотрим треугольник \(СВЕ\). Его угол при вершине \(С\) тоже равен \(30^{\circ}\), поэтому катет \(ВЕ\) должен быть в два раза меньше гипотенузы \(ВС\). Поэтому мы обозначим длины отрезков \(ВЕ\) и \(ВС\) как \(b\) и \(2b\). Нам осталось сравнить площади треугольников \(ВЕК\) и \(АВС\). Они имеют общий угол с вершиной \(В\), и по теореме их площади относятся как произведения сторон этих треугольников, заключающих данный угол. То есть \(S_{BEK} : S_{ABC} = аb : (2а · 2b) = 1 : 4\). Значит, отрезок \(ЕК\) отсекает от треугольника \(АВС\) четверть его площади, и делит его площадь в отношении 1 : 3. Ответ: 1: 3.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/824-1.png'>